古怪的定义教案

第 1 页 共 3 页精品文档---下载后可任意编辑奇异的定义教案 “自然数和正偶数，哪一种数更多？〞〔正偶数是指能被 2 整除，大于零的自然数。本文中规定 0 不是自然数。〕“自然数和正偶数一样多，由于将 n 和 2n 对应就可以得到自然数到正偶数的一个一一对应。既然每一个不同的自然数都对应而且只对应一个不同的正偶数，所以自然数和正偶数一样多。〞很多伴侣会这样说，这当然是对的；但是也有很多伴侣会觉得惊诧，并非全部的自然数都是正偶数，而全部的正偶数却都是自然数，它们怎么会一样多呢？特别是，自然数的个数应当是正偶数的两倍才对！ 关于用一一对应的方法来推断两个集合之间的大小关系，已经有很多文章谈过了，我只在这里再简洁地重复一遍： 给定两个集合 A 和 B， 1)假设存在 A 到 B 的一个单射 f:A→B〔也就是说 A 和 B 的一个子集有一一对应〕，那么我们称 A 的“基数〞〔或“势〞〕不大于 B 的第 2 页 共 3 页精品文档---下载后可任意编辑“基数〞，简称 A 不大于 B，或 A 中元素个数不多于 B 中元素； 2)假设存在 A 到 B 的一个一一对应 f:A→B，那么我们称 A 和 B 的“基数〞违反，简称 A 和 B 一样大，或 A 中元素个数和 B 中元素个数违反； 3)〔施罗德-伯恩斯坦定理〕假设 A 不大于 B，且 B 不大于 A，那么 A 和 B 一样大。 由这个定义可以得出一些推论： 1)任何一个无限集都至少和自然数集合一样大； 2)两个集合的并集同这两个集合中比较大的那个一样大，特别地，两个同样大小的集合的并集和它们本身一样大； 3)两个集合的积集同这两个集合中比较大的那个一样大。 但是这种推断集合大小的方法得出的结论，比方说上面所说的“自然数和正偶数一样多〞，甚至于“自然数和有理数一样多〞，或者“一条直线上的点的个数和一个平面上的点的个数一样多〞，总会第 3 页 共 3 页精品文档---下载后可任意编辑让不生疏集合论的人感到很别扭，一个集合的一局部怎么会和自己一样大？欧几里得的第五公理说：“整体大于局部。〞在?几何原来?中，公理的地位要高于公设，前者是“放之四海而皆准〞的，而后者却只是几何〔也就是当时的数学〕中的“不证自明〞的命题。欧几里得也搞错了？数学家们为什么不依据符合大家直觉的方法来规定集合的大小？他们好像宠爱有意制造出一些和常识相悖的稀奇惊异的概念和方法，让人上当后自己却在暗地里窃窃偷笑别人的不超...