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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1 、 方 程有 只 含的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 （ ）。有只含的积分因子的充要条件是______________。２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程。６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％）1、２、３、若试求方程组的解并求 expAt４、５、求方程通过（0，0）的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、 阶齐线性方程一定存在 个线性无关解。试卷答案一填空题１、 ２、 ３、 ４、５、６、 ７、零 稳定中心二计算题１、解：由于，因此此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得因此解为 即此外 y=0 也是解２、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不 是 特 征 根 ， 原 方 程 有 特 解代入原方程B=0 因此原方程的解为３、解：解得此时 k=1 由公式 expAt= 得４、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对 y 求导：即由得即将 y 代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p 为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 ５、解： ６、解：由解得奇点（3，-2）令 X=x-3,Y=y+2 则由于=1+1 0 故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解：考虑从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2) 一、填空题 30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为 x.y 的持续函数。2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的持续函数.n3、假 如 存 在 常 数_____________ 对 于 所 有函数称为在 R 上有关满足利普希兹条件。4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解_____________-。二、计算题 40%1、求方程2、求方程的通解。3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题 30%1.试验证=是方程组 x =x,x=，在任何不包含原点的...