①xex=1elnxex=elnx+x② 竺二xeInx=ex-lnxe九 x>②1n 九恒成立存在性问题（二）（指对混合问题）1.指对同构常用的公式xelnx==elnx-xexex④x+lnx=lnex+lnx=lnxex⑤x-lnx=lnex-lnx=ln-x常用模型a*>logxnexlna>nlna-e*lna>lnxnxlna-e^ina>xlnx①alnainxlna・e 兀 lna>lnx-elnxnxlna>lnxna>eelnxn 九 e 九 x>lnxn 九 x-e 九 x>xlnxn 九 x-e 九 x>lnx-elnx九③nax>ln(x+1)na>ln(x + 1) x例 1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函1) logx-k-2kx>02eax+ax>ln(x+1)+x+1neax+ax>ein(x+i)+ln(x+1)2)m(3)x2lnx 一 mex>0(4)a(eax+1)>2(x+)lnxx(5)aln(x-1)+2(x-1)>ax+2ex(6)x+alnx+e-x>xa(x>1)(7)ex>aln(ax-a)-a(8)x2ex+lnx=0例 2.已知不等式 ax>logx(a>0 且 a 丰 1),对 Vxe(0,+s)恒成立，则 a 的取值范围。a例 3.对 Vx>0,恒有 a(eax+1)>2(x+-)lnx,则实数 a 的最小值。x例 4.已知函数 f(x)二 ex一 aln(ax-a)+a(a>0)，若关于 x 的不等式 f(x)>0 恒成立，则a 的取值范围。例 5.对任意 x>0,不等式 2ae2x-lnx+lna>0 恒成立，则实数 a 的最小值。例 6 已知函数 f(x)=mln(x+1)一 3x 一 3,若不等式 f(x)>mx-3ex在(0,+^)上恒成立,则实数 m 的取值范围。3例 7.已知 x 是函数 f(x)二 x2ex-2+lnx—2 的零点，则 e2-%+lnx 二 00例 8.已知方程 x2lnx=alna-alnx 有三个实根，则实数 a 的取值范围。lnx例 9.已知函数 f(x)=,g(x)=xe-x，若存在 xe(0,),xeR，使得x12xf(x)=g(x)=k(k<0)成立，则(—)2ek的最大值为。12x12.指对放缩常用模型有① lnx
x+1(取等条件 x=0)*④ ex>x2+1(x>0)(取等条件 x=0)⑤ ex>ex+(x-1)2(x>0)(取等条件 x=0 以及 x=1)例 1.完成下列各小题(1) 已知函数 f(x)二 lnx+x—xex+1,则 f(x)的最大值为、lnx+1(2)函数 f(x)=ex-的最小值是x4(3) 函数 f(x)二(x+lnx+1)e-x—x 的最大值是x2ex-2lnx(4)函数 f(x)二的最小值是x+1ex例 2.已知关于 x 的不等式一-x-alnx>1 对于任意 xe(1,+Q 恒成立，则实数 a 的取值范 x3围是？例 3.f(x)二 x(e2x-a),若/(x)>1+x+lnx,求 a 的取值范围。a+inx例 5.已知函数 f(x)=,g(x)=ex-1,3xe(0,+s),使得 f(x)>g(x)成立，则实数xa 的最小值。参考答案指对同构例 1.(1).同构函数不唯一，以下类似，可以为 f(t)二 t-2t(2).f(t)二 t-et(3)f(t)二 t-et(4)f(t)二 t-et+15(5)f(t)=alnt+2t6)f(t)=int-17)f(t)=et+18)f(t)=tint1例 2.a>ee2例 3.-e6例 4.a-e例 5.1
