应用专题9：等差数列、等比数列、数列通项、求和VIP免费

应用专题9：等差数列、等比数列、数列通项、求和问题归类篇类型一：等差、等比数列的基本运算一、前测回顾1．已知{an}是等差数列，若2a7－a5－3＝0，则a9＝________．答案：3．解析：方法一：设公差为d，则2(a1＋6d)－(a1＋4d)－3＝0，即a1＋8d＝3，所以a9＝3．方法二：由等差数列的性质得a5＋a9＝2a7，所以(a5＋a9)－a5－3＝0，即a9＝3．2．(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________.答案：20．解析：设等差数列{an}公差为d，由题意可得：解得则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________．答案：－7．解析：设数列{an}的公比为q，由得或所以或所以或所以a1＋a10＝－7.4．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝________.答案：60．解析：方法一：设等比数列{an}公比为q，由题意可得q≠1，则由得，所以S12＝＝60.方法二：由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60.5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.答案：8．解析：根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，所以a9＜0，所以当n＝8时，{an}的前n项和最大.二、方法联想1．基本量运算等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．求解涉及等差、等比数列的运算问题时，通常会抓住a1、d(或q)，列出方程、不等式或方程组求解，这样做的好处是思路简洁，目标明确，但有时运算量比较大．为了减少运算量，我们要掌握一些运算技巧，例如“设而不求，整体代入”．2．性质的应用用好等差、等比数列的性质也能减少运算量．方法(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q则aman＝apaq．特别若m＋n＝2p，则aman＝ap2．(2)在等差数列{an}中，由Sn＝得，若n为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an．方法在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．在等比数列{an}中，一般情况下Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．3．等差数列Sn的最值问题方法在等差数列{an}中Sn的最值问题：方法1：(1)当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sm取最小值，方法2：由Sn的解析式，结合二次函数图象分析．三、归类巩固*1．(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．(等比数列基本量计算)答案：4．*2．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝_______.(等比数列基本量计算)答案：32．**3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则Sn的最小值为________．(等差数列前n项和的最值)答案：－．解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d，由已知解得a1＝－3，d＝.所以Sn＝na1＋d＝－3n＋×＝－n＝(n－5)2－.当n＝5时，Sn有最小值为－.方法二：设Sn＝An(n－10)，由S15＝25，得A＝．所以当n＝5时，Sn有最小值为－.*4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于________．(等比数列基本量计算)答案：5．*5．在等差数列{an}中，a1＝－2015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2015的值为________.(等差数列基本量计算)答案：－2015．解析：根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，由已知可得＝a1＝－2015，由－＝2＝2d，得公差d＝1.故＝－2015＋(2015－1)×1＝－1，所以S2015＝－2015.*6．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a3＋a4＋…＋a8＝________．(等差数列基本量计算)答案：3．*7.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________．(等差数列基本量计算)答案：88．***8．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2016＋a2017>0，a2...