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无穷级数内容小结

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精品文档---下载后可任意编辑1.数项级数:,称为前 n 项部分和。若存在常数 s,使,则称级数收敛,s 为该级数的和;否则级数发散。2.数项级数性质:1)=C;2)若级数,收敛于,则级数收敛于;3)级数中去掉,增加或改变有限项,敛散性不变;4)收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛,且其和不变。5)若级数收敛,必有3.两个重要级数:1)几何级数:=()若级数收敛,其和为,若级数发散。2)p 级数:=(p>0)若 p>1,级数收敛;若,级数发散;当 p=1 时,调和级数发散。4.正项级数审敛法:对一切自然数 n,都有,称级数为正项级数方法:1)比较审敛法:设和都是正项级数,且(n=1,2,…)若级数收敛,则级数收敛;若级数发散,则发散。2)比较审敛法的极限形式:若,则11精品文档---下载后可任意编辑和同时收敛或同时发散。 3)比值审敛法:若,则若 p<1,级数收敛;若,级数发散;当 p=1 时,级 数 可 能 收 敛 , 也 可 能 发 散 。 4 根 值 审 敛 法 : 若, 则 若 p<1, 级 数 收 敛 ; 若,级数发散;当 p=1 时,级数可能收敛,也可能发散。5.交错级数的莱布尼茨审敛法:设为交错级数,若 1)对一切 N 有;2),则级数收敛,且其和.6.级数的绝对收敛和条件收敛:若收敛,则级数绝对收敛;若收敛,而发散,则级数条件收敛。7.幂级数的收敛半径 收敛区间:对任意一个幂级数,都存在一个 R,使对一切都有级数绝对收敛,而当时级数发散。称 R 为该幂级数的收敛半径,(-R,R)为收敛区间。当幂级数只在 x=0 一点收敛时,R=0;当对一切 x 幂级数都收敛时22精品文档---下载后可任意编辑8.收敛半径、区间的求法:对幂级数,若,则当为非零正数时,;当时,;当时,R=09.幂级数的性质:1)(和函数连续性)设幂级数的收敛半径为 R(),其和函数 s(x)在(-R,R)内连续。若它在 x=R(或-R)处收敛,则 s(x)在上连续。2)(逐项积分)==,且前后收敛半径相同3)逐项可导:===,且前后收敛半径相同10.函数的幂级数展开式:f(x)在点附近有任意阶导数,称幂级数+++为处的泰勒级数,并称()为处的泰勒系数,特别地,当时,称幂级数+++为的马克劳林级数,并称为的马克劳林系数。33精品文档---下载后可任意编辑11.常用函数幂级数展开式:==1+, ;==, == , ==, ;== ,== ,==1+,12.求函数幂级数展开式的方法:1)直接展开法 求各阶导数,代入泰勒级数并检查泰勒余项的区间。2)间接展开法 利用函数与已...

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