无穷级数内容小结

精品文档---下载后可任意编辑1.数项级数：，称为前 n 项部分和。若存在常数 s,使，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。2.数项级数性质：1)=C；2)若级数，收敛于，则级数收敛于；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。5）若级数收敛，必有3．两个重要级数：1）几何级数：=()若级数收敛，其和为，若级数发散。2）p 级数：=（p>0）若 p>1,级数收敛；若，级数发散；当 p=1 时，调和级数发散。4．正项级数审敛法：对一切自然数 n,都有，称级数为正项级数方法：1）比较审敛法：设和都是正项级数，且（n=1,2,…）若级数收敛，则级数收敛；若级数发散，则发散。2）比较审敛法的极限形式：若，则11精品文档---下载后可任意编辑和同时收敛或同时发散。 3）比值审敛法：若，则若 p<1,级数收敛；若，级数发散；当 p=1 时，级 数 可 能 收 敛 ， 也 可 能 发 散 。 4 根 值 审 敛 法 ： 若， 则 若 p<1, 级 数 收 敛 ； 若，级数发散；当 p=1 时，级数可能收敛，也可能发散。5.交错级数的莱布尼茨审敛法：设为交错级数，若 1)对一切 N 有；2），则级数收敛，且其和.6.级数的绝对收敛和条件收敛：若收敛，则级数绝对收敛；若收敛，而发散，则级数条件收敛。7．幂级数的收敛半径 收敛区间：对任意一个幂级数，都存在一个 R,使对一切都有级数绝对收敛，而当时级数发散。称 R 为该幂级数的收敛半径，（-R,R）为收敛区间。当幂级数只在 x=0 一点收敛时，R=0;当对一切 x 幂级数都收敛时22精品文档---下载后可任意编辑8.收敛半径、区间的求法：对幂级数，若，则当为非零正数时，;当时，；当时，R=09.幂级数的性质：1）（和函数连续性）设幂级数的收敛半径为 R(),其和函数 s(x)在(-R,R)内连续。若它在 x=R(或-R)处收敛，则 s(x)在上连续。2）（逐项积分）==，且前后收敛半径相同3）逐项可导：===，且前后收敛半径相同10.函数的幂级数展开式：f(x)在点附近有任意阶导数，称幂级数+++为处的泰勒级数，并称（）为处的泰勒系数，特别地，当时，称幂级数+++为的马克劳林级数，并称为的马克劳林系数。33精品文档---下载后可任意编辑11.常用函数幂级数展开式：==1+， ；==， == ， ==， ；== ，== ，==1+，12.求函数幂级数展开式的方法：1）直接展开法 求各阶导数，代入泰勒级数并检查泰勒余项的区间。2）间接展开法 利用函数与已...