抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22xfxuatu，Tt 0 其中a 为常数。)(xf是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数txu,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2）  xxu0,, x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数txu,，满足方程（1.1）和初始条件：  13.1  xxu0,, lxl 及边值条件  23.1   0,,0tlutu， Tt 0 假定  xf和  x在相应的区域光滑，并且于0,0，0,l两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 Nlh 为空间步长，MT为时间步长，其中N ，M 是自然数， jhxxj , Nj,,1,0； kyyk , Mk,,1,0 将矩形域 GTtlx0;0分割成矩形网格。其中 ji yx ,表示网格节点； hG表示网格内点（位于开矩形 G 中的网格节点）的集合； hG表示位于闭矩形 G 中的网格节点的集合； h 表示hG-hG网格边界点的集合。 kju 表示定义在网点ki tx ,处的待求近似解， Nj 0， Mk 0。 注意到在节点ki tx ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kjkjuu x ttt ）：   Otutxutxukjkjkj,,1   2112,,Otutxutxukjkjkj   hOxuhtxutxukjkjkj,,1   hOxuhtxutxukjkjkj ,,1   2112,,hOxuhtxutxukjkjkj   222211,,2,hOxuhtxutxutxukjkjkjkj 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式  14.1 kjkjuu1jkjkjkjfhuuua2112  jjxff  24.1  jjjxu 0， ku0 =kNu =0 其中1,,1,0Nj，1,,1,0Mk。取2har为网比，则进一步有  14.1 1kju=kjru1 +r21kju +kjru1 +jf 此差分格式是按层计算：首先，令0k，得到 1ju =01jru+r210ju +01jru+jf 于 是 ，...