抛物线的性质归纳及证明

1 抛物线的常见性质及证明 概 念 焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段； 焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦. 性 质 及 证 明 过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F 的弦两端点为 ),(11 yxA,),(22 yxB,倾斜角为 ,中点为C(x0,y0), 分别过A、B、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’. 1.求证：①焦半径cos12||1ppxAF；②焦半径cos12||2ppxBF; ③1| AF |＋1| BF |＝2p； ④弦长| AB |＝x1＋x2＋p=2sin2p；特别地，当x1=x2( =90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB 的面积S△OAB＝sin22p. 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋p2，| BF |＝| BC |＝x2＋p2， | AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p 如图2，过A、B 引x 轴的垂线AA1、BB1，垂足为 A1、B1，那么| RF |＝| AD |－| FA1 |＝| AF |－| AF |cos， ∴| AF |＝| RF |1－cos＝p1－cos 同理，| BF |＝| RF |1＋cos＝p1＋cos ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p1－cos＋p1＋cos＝2psin2 . S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝12| OF || y1 |＋12| OF || y1 |＝12·p2·(| y1 |＋| y1 |) y1y2＝－p2，则 y1、y2 异号，因此，| y1 |＋| y1 |＝| y1－y2 | ∴S△OAB＝p4| y1－y2 |＝p4 (y1＋y2)2－4y1y2＝p4 4m2p2＋4p2＝p221＋m2＝p22sin . C D B(x2，y2) R A(x1，y1) x y O  A1 B1 F 图2 2 2. 求证：①21 24pxx ；②21 2yyp；③ 1| AF |＋1| BF |＝2p. 当AB⊥x 轴时，有 AFBFp ，成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2pyk x.代入抛物线方程： 2222pkxpx.化简得：  222222014pk xp kxk 方程（1）之二根为x1，x2，∴1224kxx. 122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxx xxx 121222121222424xxpxxppppppxxpxx. 3.求证：'''FBABACRt∠. 先证明：∠AMB＝Rt∠ 【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图 3，则 △ADM≌△ECM， ∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB | C D B(x2，y2) R A(x1，y1) x...