抛物线经典例题

- 1 - - 1 - 抛物线习题精选精讲 （1 ）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例 1】P 为抛物线 pxy22 上任一点，F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴（ ） .A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由 P 确定 【解析】如图，抛物线的焦点为,02pF ，准线是 :2pl x  .作 PH⊥l 于 H，交 y 轴于 Q，那么 PFPH， 且2pQHOF.作 MN⊥y 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的 中位线，111222MNOFPQPHPF.故以 PF 为直径的圆与 y 轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2 ）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例 2】 过抛物线022ppxy 的焦点 F 作直线交抛物线于 1122,,,A x yB x y两点，求证： （1）12ABxxp （2）pBFAF211 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作 1AAl11111,2pA BBlBAAx于 ，则 AF， 122pBFBBx.两式相加即得： 12ABxxp （2）当 AB⊥x 轴时，有 AFBFp ，112AFBFp成立； 当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为：2pyk x.代入抛物线方程： XYPHMNO(,0)2pF:2pl x= -22ypx=QXYFA(x,y)1 1B(x,y)2 2A1B1l - 2 - - 2 - 2222pkxpx.化简得：  222222014pk xp kxk 方程（1）之二根为x1，x2，∴1224kxx. 122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxx xxx 121222121222424xxpxxppppppxxpxx. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有pBFAF211成立. （3 ）切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 【例 3】证明：过抛物线22ypx上一点 M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0） 【证明】对方程22ypx两边取导数：22.py ypyy，...