排序不等式 排序不等式（sequence inequality），又称排序原理 设12naaa，12nbbb为两组实数，12nccc、 、 、是12nbbb、 、 、的任一排列，则121111221122nnnnnnna ba ba ba ca ca ca ba ba b（反序和乱序和顺序和），当且仅当12naaa或12nbbb时，反序和等于顺序和。 排序不等式也是基本且重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要的不等式都可以借助排序不等式得到证明。 一、排序不等式的基本应用 排序不等式的结构规律简明，易于记忆，借助它可以简捷地证明一些重要的不等式，尤其是对于具有大小顺序关系且个数相同的两列数，在考虑他们的对应项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具。 应用排序不等式，必须取两组个数相同、便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大小顺序，二是不知道各数的大小顺序，但由于不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序。 例 1 设12naaa、 、 、是n 个互不相同的正整数，求证： 32122211112323naaaann 分析：由于12naaa、 、 、是n 个互不相同的正整数，因此它们可以进行排序；同时，观察需要证明的不等式，可以联想到12naaa、 、 、对应的另一列数是 1 、212、213、…、21n ，由此可以联想到应用排序不等式。值得注意的是不能直接假设12naaa，会影响两列数的乘积之和是顺序和、乱序和还是反序和，所以需要定义12naaa、 、 、的大小关系。 证明：设12nbbb、 、 、是12naaa、 、 、的一个排列，且满足1b ＜2b ＜…＜nb . 因为12nbbb、 、 、是互不相同的正整数，所以11b ，22b ，…，nbn. 又因为 1 ＞212＞213＞…＞21n ， 故由排序不等式：乱序和反序和，得： 123222111123naaaan 123222111123nbbbbn 222111111112312323n nn 原不等式成立. 例2 设123aaa、、都是正数，求证：233112123312a aa aa aaaaaaa 分析：观察需要证明的不等式，我们需要构造两组数，并且这两组的乘积可以出现123aaa、、，满足不等式的右端；观察不等式的左端，我们可以不妨设123aaa，构造121323a aa aa a和321111aaa，应用排序不等式证明不等式。 证明：不妨设123aaa，则121323a aa aa...
