20１0年“TRUＬＹ®信利杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的．请将正确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填,得零分)1．若４x－3ｙ-6z＝0，x+2y-7z=0(xyz≠0),则的值等于（).（A）(B）(C)(Ｄ)2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20ｇ时付邮费０．80元,超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推,每增加20g需增加邮费0.８0元(信的质量在1００ｇ以内）。如果所寄一封信的质量为7２.5g,那么应付邮费().（A)2.4元(B）2.8元(C)3元（D)3.2元3.如下图所示,∠A+∠B＋∠C＋∠Ｄ+∠E+∠F+∠Ｇ=（）.(A)3６0°(Ｂ)4５0°（C)540°(D）７20°4．四条线段的长分别为９,5，x，１(其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则ｘ可取值的个数为(）.(A)2个（B)3个(C)4个(D)6个5．某校初三两个毕业班的学生和教师共1０0人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么，满足上述要求的排法的方案有()．(Ａ)１种(B)２种（C)4种(D)0种二、填空题（共５小题，每小题6分,满分30分)6.已知,那么.７．若实数x，ｙ，z满足,,,则xyz的值为.1（第3题图）（第4题图）8.观察下列图形:①②③④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为．9．如图所示,已知电线杆AＢ直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CＤ与地面成45º，∠A＝6０ºＣD=4ｍ，ＢC=m，则电线杆AＢ的长为_______ｍ.１0．已知二次函数(其中a是正整数)的图象经过点A（－1，4)与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+ｃ的最大值为.三、解答题(共4题，每小题15分，满分６0分)１1.如图所示，已知ＡB是⊙O的直径，ＢC是⊙O的切线,OＣ平行于弦AＤ，过点D作DＥ⊥ＡＢ于点E,连结AC，与ＤE交于点P.问EP与PD是否相等证明你的结论.解：2(第11题图)（第9题图）12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位:小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为8０千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.２元.试指出此人从A城出发到Ｂ城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：１３Ｂ．如图所示,在△ABＣ中,∠ACB=９０°.（1)当点D在斜边AB内部时，求证:．(２）当点D与点A重合时，第(１)小题中的等式是否存在？请说明理由.(3）当点D在BA的延长线上时,第（１)小题中的等式是否存在?请说明理由.3(第12题图)(第13B题图)１4B.已知实数a,ｂ,ｃ满足:a+b+c＝2，ａbc=4.（1)求ａ，ｂ,ｃ中的最大者的最小值;（２）求的最小值.注：１３B和１4B相对于下面的13A和14A是较容易的题.１３B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页13Ａ和14A两题可留作考试后的研究题。13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根.P是⊙O外一点,过点P作⊙Ｏ的切线PA和割线ＰBC,其中A为切点，点Ｂ，C是直线ＰＢC与⊙O的交点.若PA，ＰB,ＰC的长都是正整数,且PＢ的长不是合数，求的值.解:4(第13A题图)14A．沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的４个数a,b，ｃ,d满足不等式>0，那么就可以交换b,c的位置，这称为一次操作.(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，６，问:是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的４个数a，ｂ，c,ｄ，都有≤0?请说明理由.（２)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着２0０３个正整数1，２，…，2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a，b,c，d,都有≤0？请说明理由．解：(１）(2)52003年“TRULＹ®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分,满分30分)1.D由解得代入即得.2.D因为2０×3<72.5<20×４，所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.２(元).3.Ｃ如图所示,∠B＋∠BＭN+∠E＋∠G＝36０°，∠ＦNM+∠Ｆ+∠A+∠C=３60°，而∠BMN+∠FNM＝∠Ｄ＋18０°，所以∠A+∠B＋∠C＋∠D+∠Ｅ+∠F+∠Ｇ=540°.4．D显然AB...
