极值点偏移专题第1 页共16 页极值点偏移问题答案一、典型例题类型 1:不含参极值点偏移问题1. (2010 年天津)已知函数Rxxexfx)(,如果21xx 且)()(21xfxf,证明:221 xx解法一:构造函数:解:xexxf1)(,则)(xf在1,上递增,在,1上递减,则efxf1)1()(max,如图要证221 xx,即证122xx,不妨设21xx ,则2110xx1212xx,又)(xf在,1上递减,则只需证)2()(12xfxf又)()(12xfxf,则等价证)2()(11xfxf,证明如下:设 1,0)2()()(xxfxfxg,则)2()()(xfxfxg2211)(xxeexxg,又 1,0x,则0)( xg,则 1,0)(在xg递增0)1()(gxg,则0)(xg得证,则221 xx点评:构造函数的目的就是为了消参,将双变量转化为单变量处理,利用构造函数求最值证明不等式恒成立解法二:对数均值不等式法解:)()(12xfxf,则2121xxexex ,则1221xxexx①,对①式两边取e 为底的对数则有1212lnlnxxxx由对数均值不等式有1lnln2212121xxxxxx,则221 xx,对数均值不等式证明如下:要证:bababalnln2,不妨设ba ,即证bababa)(2lnln1112ln:112ln:baxxxxbababa证证1112ln)(xxxxxg构造函数,又222)1()1()1(41)(xxxxxxg,又1x,则0)( xg恒成立)(xg在,1上递增,则0)1()( gxg,则对数均值不等式得证,则221 xx成立点评:①构造对数均值不等式的结构;②证对数均值不等式注意消元,肖元时用到了整体法极值点偏移专题第2 页共16 页解法三:直接构造函数消元解:)()(12xfxf,则2121xxexex,则1221xxexx①,对①式两边取e 为底的对数则有1212lnlnxxxx12121212122112122121ln11lnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (整体法销元)不妨设21xx ,则 112 xxt,要证:221 xx,即证:12ln11tttt 证0112lnttt令1112ln)(tttttg,则222)1()1()1(41)(ttttttg又1t,则0)( tg恒成立)(tg在,1上递增,则0)1()( gtg,则221 xx成立解法四:引入变量,消元构造函数解:)()(12xfxf,则2121...