极值点偏移(自主整理)答案

极值点偏移专题第1 页共16 页极值点偏移问题答案一、典型例题类型 1：不含参极值点偏移问题1. （2010 年天津）已知函数Rxxexfx)(，如果21xx 且)()(21xfxf，证明：221 xx解法一：构造函数：解：xexxf1)(，则)(xf在1,上递增，在，1上递减，则efxf1)1()(max，如图要证221 xx，即证122xx，不妨设21xx ，则2110xx1212xx，又)(xf在，1上递减，则只需证)2()(12xfxf又)()(12xfxf，则等价证)2()(11xfxf，证明如下：设 1,0)2()()(xxfxfxg，则)2()()(xfxfxg2211)(xxeexxg，又 1,0x，则0)( xg，则 1,0)(在xg递增0)1()(gxg，则0)(xg得证，则221 xx点评：构造函数的目的就是为了消参，将双变量转化为单变量处理，利用构造函数求最值证明不等式恒成立解法二：对数均值不等式法解：)()(12xfxf，则2121xxexex ，则1221xxexx①，对①式两边取e 为底的对数则有1212lnlnxxxx由对数均值不等式有1lnln2212121xxxxxx，则221 xx，对数均值不等式证明如下:要证：bababalnln2，不妨设ba ，即证bababa)(2lnln1112ln:112ln:baxxxxbababa证证1112ln)(xxxxxg构造函数，又222)1()1()1(41)(xxxxxxg，又1x，则0)( xg恒成立)(xg在,1上递增，则0)1()( gxg，则对数均值不等式得证，则221 xx成立点评：①构造对数均值不等式的结构；②证对数均值不等式注意消元，肖元时用到了整体法极值点偏移专题第2 页共16 页解法三：直接构造函数消元解：)()(12xfxf，则2121xxexex，则1221xxexx①，对①式两边取e 为底的对数则有1212lnlnxxxx12121212122112122121ln11lnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx （整体法销元）不妨设21xx ，则 112  xxt，要证：221 xx，即证：12ln11tttt 证0112lnttt令1112ln)(tttttg，则222)1()1()1(41)(ttttttg又1t，则0)( tg恒成立)(tg在,1上递增，则0)1()( gtg，则221 xx成立解法四：引入变量，消元构造函数解：)()(12xfxf，则2121...