极大似然函数求解

1 《概率论与数理统计》典型教案 教学内容：极大似然估计法 教学目的： 通过本节内容的教学，使学生： 1、明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法； 2、理解极大似然思想； 3、掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计值． 教学重点： 1、对极大似然思想阐述； 2、极大似然估计值的求解． 教学难点： 对不能通过求导方法获得极大似然估计的值的确定． 教学时数：２学时． 教学过程： 引例：某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过．只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪是猎人射中的． 这个例子所作的推断就体现了极大似然法的基本思想． 一、极大似然思想 一般地说，事件 A 与参数有关， 取值不同，则)(AP也不同．若A 发生了，则认为此时的 值就是 的估计值．这就是极大似然思想．看一例子：例１、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为 3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率 P ． 分析：易知 P 的值无非是 1/4 或 3/4．为估计 P 的值，现从袋中有放回地任取 3 只球，用 X 表示其中的黑球数，则),3(~PbX．按极大似然估计思想，对 P 的取值进行估计． 解：对 P 的不同取值，X 取3,2,1,0k的概率可列表如下: 2 X ０ １ ２ ３ 41P 6427 6427 649 641 43P 641 649 6427 6427 故根据极大似然思想即知：3,2,431,0,41ˆkkP． 在上面的例子中，P 是分布中的参数，它只能取两个值：1 /4 或3 /4 ，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1 /4 还是3 /4 ．在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于P 的值，为此需要用1 /4 、3 /4 分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则 P 就最象那个． 二、似然函数与极大似然估计 1 、离散分布场合： 设总体 X 是离散型随机变量，其概率函数为);( xp，其中 是未知参数．设nXXX,,,21为取自总体 X 的样本．nXXX,,,21的联合概率函数为niiXp1);( ，这里， 是常量，nXXX,,,21是变量． 若我们已知样本取的值是nxxx,,,21，则事件},,,{2211nnxXxXxX发生的概率为niixp1);( ．这一概率随 的值而变化．从直观上来...