极点极线及高中圆锥曲线必备公式

声明: 本内容来自网络,感谢 ∙百度贴吧mpc_killer 吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线 草稿》 ∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》 ∙百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》 等优秀内容. 极点极线 定义 已知圆锥曲线С: Ax+By+Cx+Dy+E=0 与一点P(x0,y0) [其 中A+B≠0,点．P．不 在 曲 线 中 心 和 渐 近 线 上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A∙x0x+B∙y0y+C∙x0+x2+D∙y0+y2 +E=0 是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以 x0x 替换 x，以x0+x2 替换 x，以 y0y 替换 y,以y0+y2 替换 y 则可得到极点P(x0,y0)的极线方程 L. 特别地： (1) 对 于 圆(x-a)+(y-b)=r, 与 点P(x0,y0) 对 应 的 极线方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r ； (2)对于椭圆xa+yb=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为x0xa+y0yb=1 ； (3)对于双曲线xa-yb=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为x0xa-y0yb=1 ； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x) ； 性质 一般地,有如下性质[焦 点 所 在 区 域 为曲线内部．．．．．．．．．．．]: ①若极点P 在曲线С上,则极线L 是曲线С在P 点的切线； ②若极点P 在曲线С外,则极线L 是过极点P 作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P 在曲线С内,则极线L 在曲线С外且与以极点P 为中点的弦平行[仅是斜 率 相 等 ]( 若是 圆 , 则 此 时 中 点弦 的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0xa+y0yb=x0a+y0b；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0xa-y0yb=x0a-y0b；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)； ④当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．； ⑤极点极线的对偶性: Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则 L 上任一点Pn 对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中 点．．P．n．与．直 线．．Ln．．是 一对极点 极线．．．．．．．]； Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L1、L2，L1 交曲线C 于AB，L2交曲线C 于MN，则直线AM、BN 的交点T，直线AN、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L上 [图 中 点．．．P．与．直 线．．ST．．是 一对极点 极线 ；点．．．．．．．．．T．...