极限存在准则,两个重要极限

西南石油大学《高等数学》专升本讲义 1 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5 分钟）。首先给出极限存在准则（20 分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20 分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40 分钟）；课堂练习（15 分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、1000121liminin1000 个0 相加，极限等于0。 2、ninin121lim无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、nnxlim，其中13nnxx，13x，极限不能确定。 对于2、3 就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列nn yx ,及nz 满足下列条件: ,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn 那么数列nx 的极限存在, 且axnnlim. 证：,,azaynn使得,0,0,021NN ,1ayNnn时恒有当 ,2azNnn时恒有当 取12max{,},NN N上两式同时成立,,ayan即 ,azan 当 nN 时，恒有 ,azxyannn,成立即 axn .limaxnn 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 2 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当),(0 xUxo (或Mx )时,有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那么)(lim)(0xfxxx存在, 且等于A. 准则  和准则 '称为夹逼准则。 【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出ny 与nz ，并且ny 与nz 的极限是容易求的。 例 1 求222111lim ().12nnnnn 解： 222211,11nnnnnnnn nnnnnn111limlim2又 ,1 22111lim1limnnnnn,1 由夹逼定理得：.1)12111(lim222nnnnn 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 2. 单调有界准则 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 如果数列 nx满足条件1321nnxxxxx，...