构造角平分线借助其性质解题 在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下. 一、证明线段相等 例1 如图1，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC. 分析：根据已知可知AD是∠BAC的平分线，可通过点D作∠BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明. 证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 因为DA为∠BAC的平分线，所以DE=DF. 又因为AD平分BC，所以BD=CD， 所以S△ABD=S△ACD， 又S△ABD=21 AB·DE，S△ACD=21 AC·DF， 所以AB·DE=AC·DF， 所以AB=AC. 图1 图2 二、证明两角的和等于180°. 例2 已知，如图2，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD.求证:∠B+∠D=180°. 分析:因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题. 证明:作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F. 因为AC平分∠BAD, 所以CE=CF. 在△CBE和△CDF中, 因为CE=CF,CB=CD, 所以Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1, 因为∠1+∠ADC=180°, 所以∠B+∠ADC=180°, 即∠B+∠D=180°. 三、证明角相等 例3如图3，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2 分析：要证明AP是∠BAC的平分线，需要证明点P到∠BAC两边的距离相等，可作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，易证PE=PH，PH=PG，从而PE=PG. 证明；过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H. 因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC， 所以PE=PH， 同理可证PH=PG， 所以PG=PE， 又PE⊥AB，PG⊥AC，所以PA是∠BAC的平分线. 所以∠1=∠2. 图3 图4 四、证明角的平分线 例4 如图4，DA⊥AB，CB⊥AB，P是AB的中点，PD平分∠ADC. 求证：CP平分∠DCB. 分析：因为DA⊥AB，PD平分∠ADC，所以可过点P作PE⊥AC，利用角平分线的性质得到PE=PA，进而可得到PE=PB. 证明：过点P作PE⊥DC，垂足于E， 因为PD平分∠ADC，PA⊥AD，所以PA=PE， 因为P为AB的中点， 所以PA=PB，所以PE=PB， 因为CB⊥BP，CE⊥PE，所以CP平分∠DCB 五、求角的度数 例5 如图5，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数. 分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题. 解：作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P. 因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°，∠PBA=180°-100°=...
