梅涅劳斯定理(入门篇) 雷雨田 (广西师范大学附属外国语学校高 50 班 541004) 梅涅劳斯定理 证明 2:面积法 AF/FB = △ADF/△BDF BD/DC = △BDF/△CDF CE/EA = △CDF/△ADF 式 * * 可得: (AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)= 1 得证。 证明 3:相似法 证明4: 这个定理怎么记最好呢? 个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易 不过找了很多资料,感觉仅仅是把这个定理(或者后面附一个逆定理)陈述然后证明完了之后,就直接给例题(或者直接讲赛瓦定理),看上去不怎么舒服,所以我把其他的一些东西附在这里,以供参考。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 (就是把线段比改为正弦值比)其表达式为: 1••BA'Bsin'CBBsinCB'Csin'ACCsinAC'Asin'BAAsin 证明如下: 如图所示,由三角形面积公式(正弦定理)可得: AC'AsinAC'BAAsinABAC'AsinAC'AA'BAAsin'AAABSSC'A'BAC'AA'ABA2121 同理可得CB'CsinBC'ACCsinACB'C'AC,BA'BsinAB'CBBsinBCA'B'CB 把这三个式子相乘,运用梅氏定理,就可得到 这个式子怎么记最好呢? 个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。 第二角元形式的梅涅劳斯定理 设 O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点,其他条件不变,则表达式为: 1••OA'Bsin'COBsinOB'Csin'AOCsinOC'Asin'BOAsin A B C A’ B’ C’ 现证明如下: 如图,由C'A'BASSOC'A'BOA 可得A'B'BAOBOCOC'Asin'OABsin 同理得到另外两个对称式,相乘,运用梅氏定理即得证 这个式子就这样记吧: 先记住原来的梅涅劳斯定理形式,然后在每条线段表达式中间插一个O,然后再在前面加上sin(比如BA'就变成'BOAsin ) 梅氏定理的用处 这个定理是平面几何的一个重要定理(好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节,不知是惯性还是怎么地),它大概有如下用处: 可以用来证明三点共线; 可以用来导出线段比例式; 可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍(即线段倍分); 怎么用梅氏定理 知道了这个定理,还要会用才行。问题是怎么用? 观察可以发现,用这个的关键是选好三角形,并找到它的截线(或作出截线)。在题目中,经常会出现三点共线的情况,把这个看成是某个三角形的截线,然后导出一个式子加以运...