梅涅劳斯定理的证明及运用

梅涅劳斯定理（入门篇） 雷雨田 （广西师范大学附属外国语学校高 50 班 541004） 梅涅劳斯定理 证明 2：面积法 AF/FB = △ADF/△BDF  BD/DC = △BDF/△CDF  CE/EA = △CDF/△ADF  式 *  * 可得： （AF/FB）*（BD/DC）*（CE/EA）= 1 得证。 证明 3：相似法 证明4： 这个定理怎么记最好呢？ 个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易 不过找了很多资料，感觉仅仅是把这个定理（或者后面附一个逆定理）陈述然后证明完了之后，就直接给例题（或者直接讲赛瓦定理），看上去不怎么舒服，所以我把其他的一些东西附在这里，以供参考。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 （就是把线段比改为正弦值比）其表达式为： 1••BA'Bsin'CBBsinCB'Csin'ACCsinAC'Asin'BAAsin 证明如下： 如图所示，由三角形面积公式（正弦定理）可得： AC'AsinAC'BAAsinABAC'AsinAC'AA'BAAsin'AAABSSC'A'BAC'AA'ABA2121 同理可得CB'CsinBC'ACCsinACB'C'AC,BA'BsinAB'CBBsinBCA'B'CB 把这三个式子相乘，运用梅氏定理，就可得到 这个式子怎么记最好呢？ 个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。 第二角元形式的梅涅劳斯定理 设 O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点，其他条件不变，则表达式为： 1••OA'Bsin'COBsinOB'Csin'AOCsinOC'Asin'BOAsin A B C A’ B’ C’ 现证明如下： 如图，由C'A'BASSOC'A'BOA  可得A'B'BAOBOCOC'Asin'OABsin 同理得到另外两个对称式，相乘，运用梅氏定理即得证 这个式子就这样记吧： 先记住原来的梅涅劳斯定理形式，然后在每条线段表达式中间插一个O，然后再在前面加上sin（比如BA'就变成'BOAsin ） 梅氏定理的用处 这个定理是平面几何的一个重要定理（好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节，不知是惯性还是怎么地），它大概有如下用处： 可以用来证明三点共线； 可以用来导出线段比例式； 可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍（即线段倍分）； 怎么用梅氏定理 知道了这个定理，还要会用才行。问题是怎么用？ 观察可以发现，用这个的关键是选好三角形，并找到它的截线（或作出截线）。在题目中，经常会出现三点共线的情况，把这个看成是某个三角形的截线，然后导出一个式子加以运...