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2025年高等数学考研知识点总结

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第一讲 函数、极限与持续一、考试规定1. 理解函数的概念,掌握函数的表达措施,会建立应用问题的函数关系。2.理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3. 理解复合函数及分段函数的概念,理解反函数及隐函数的概念。4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念。5. 理解(理解)极限的概念,理解(理解)函数左、右极限的概念以及函数极限存 在与左、右极限之间的关系。6. 掌握(理解)极限的性质,掌握四则运算法则。7. 掌握(理解)极限存在的两个准则,并会运用它们求极限,掌握(会)运用两个重要极 限求极限的措施。8. 理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较措施,会用等价无穷小量求极限。9. 理解函数持续性的概念(含左持续与右持续),会鉴别函数间断点的类型10. 理解持续函数的性质和初等函数的持续性,理解闭区间上持续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。11. 掌握(会)用洛必达法则求未定式极限的措施。二、内容提要1、函数(1)函数的概念: y=f(x),重点:规定会建立函数关系. (2)复合函数: y=f(u), u=,重点:确定复合关系并会求复合函数的定义域. (3)分段函数: 注意,为分段函数. (4)初等函数:通过有限次的四则运算和复合运算且用一种数学式子表达的函数。(5)函数的特性:单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注:1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。尤其:若为偶函数且存在,则2、若为偶函数,则为奇函数; 若为奇函数,则为偶函数;3、可导周期函数的导函数为周期函数。尤其:设以为周期且存在,则。4、若 f(x+T)=f(x), 且,则仍为以 T 为周期的周期函数.5、设是以为周期的持续函数,则,6、 若为奇函数,则;若为偶函数,则7、设在内持续且存在,则在内有界。 2、 极限 (1) 数列的极限: (2) 函数在一点的极限的定义: (3) 单侧极限: 1) 左右极限 2) 极限存在的充要条件: (4) 极限存在的准则 1) 夹逼定理: 数列情形,函数情形 2) 单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质:唯一性,保号性,四则运算*1)极限不等式 注:不成立2)局部保号性 则在某内3)局部有界性 则在某内有界。4) (6) 两类重要极限 (7) 无穷小量与无穷大量 1) 无穷小量; 2) 无穷大量; (注意与无界变量的差异) 3) 无穷小量与无穷大量的关系 (8) 无穷小量阶的比较 (9) 罗比达法则 3、持续 1) 持...

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