. . 椭 圆 离 心 率 的 解 法 一 、 运 用 几 何 图 形 中 线 段 的 几 何 意 义 。 基 础 题 目 ： 如 图 ， O 为 椭 圆 的 中 心 ， F 为 焦 点 ， A 为 顶 点 ， 准 线 L 交 OA 于 B， P、 Q 在 椭 圆上 ，PD⊥ L 于 D，QF⊥ AD 于 F,设 椭 圆 的 离 心 率 为 e，则 ① e=｜ PF｜｜ PD｜ ② e=｜ QF｜｜ BF｜ ③ e=｜ AO｜｜ BO｜④ e=｜ AF｜｜ BA｜ ⑤ e=｜ FO｜｜ AO｜ 评 ： AQP 为 椭 圆 上 的 点 ， 根 据 椭 圆 的 第 二 定 义 得 ， ① ② ④ 。 ｜ AO｜ =a,｜ OF｜ =c,∴ 有 ⑤ ； ｜ AO｜ =a,｜ BO｜ = a2 c ∴ 有 ③ 。 题 目 1： 椭 圆 x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的 两 焦 点 为 F1 、 F2 ， 以 F1F2 为 边 作 正 三 角 形 ， 若 椭 圆恰 好 平 分 正 三 角 形 的 两 边 ， 则 椭 圆 的 离 心 率 e？ 思 路 ： A 点 在 椭 圆 外 ， 找 a、 b、 c 的 关 系 应 借 助 椭 圆 ， 所 以 取 AF2 的 中 点 B， 连 接 BF1 ,把已 知 条 件 放 在 椭 圆 内 ， 构 造 △ F1BF2 分 析 三 角 形 的 各 边 长 及 关 系 。 解 ： ｜ F1F2｜ =2c ｜ BF1｜ =c ｜ BF2｜ =3c c+3c=2a ∴ e= c a = 3-1 D B F OA P Q B A F2 F1 . . 变形 1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，点 P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接 PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图 形如 上图 ，e=3-1 变形 2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶 点，P 是 椭圆上一点，且PF1 ⊥ X 轴 ，PF2 ∥ AB,求椭圆离心率？ 解： ｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥ AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 b= a2-c2 ∴ a2=5c2 e=55 点评 ：以 上题 目 ，构 造 焦点三角形，通 过 各 边 的几 何 意 义 及 关 系 ，推 导 有 关a 与c 的 方 程式 ，推 导 离心率。 二 、运 用 正余 弦 定 理 解决 图 形中 的三角形 题 目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是 ...
