说明: 本习题答案是针对魏宗舒编写的《概率论与数理统计教程》(第二版).5.1设(ᵆᵅ, ᵆ2, · · · , ᵆᵅ)及(ᵆ1, ᵆ2, · · · , ᵆᵅ)为两组子样的观测值, 它们有如下关系:ᵆᵅ = ᵆᵅ − ᵄᵄ,(ᵄ = 0, ᵄ为常数)求子样均值¯ᵆ与¯ᵆ, 子样方差ᵄ2ᵆ与ᵄ2ᵆ的关系.解：¯ᵆ=1ᵅᵅ∑︁ᵅ= 1ᵆᵅ = 1ᵅᵅ∑︁ᵅ= 1ᵆᵅ − ᵄᵄ= 1ᵄ(︃1ᵅᵅ∑︁ᵅ= 1ᵆᵅ − ᵄ)︃= 1ᵄ (¯ᵆ − ᵄ)ᵄ2ᵆ=1ᵅᵅ∑︁ᵅ= 1(ᵆᵅ − ¯ᵆ)2 = 1ᵅᵅ∑︁ᵅ= 1(︂ᵆᵅ − ᵄᵄ− ¯ᵆ − ᵄᵄ)︂2= 1ᵄ2[︃1ᵅᵅ∑︁ᵅ= 1(ᵆᵅ − ¯ᵆ)2]︃= 1ᵄ2 ᵄ2ᵆ.5.2 若子样观测值ᵆ1, ᵆ2, · · · , ᵆᵅ 的频数分别为ᵅ1, ᵅ2, · · · , ᵅᵅ , 试写出计算子样平均数¯ᵆ和子样方差ᵄ2ᵅ的公式(这里ᵅ = ᵅ1 + ᵅ2 + · · · + ᵅᵅ )解：¯ᵆ=1ᵅᵅ∑︁ᵅ= 1ᵅᵅᵆᵅᵄ2ᵅ=1ᵅᵅ∑︁ᵅ= 1ᵅᵅ(ᵆᵅ − ¯ᵆ)2.5.3利用切比雪夫不等式求钱币需抛掷多少次才能使子样均值¯ᵰ落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9? 如何才能更精确地计算是概率接近0.9所需要的次数是多少?解：设需要掷ᵅ次, ᵃ ¯ᵰ = 0.5, ᵃ(¯ᵰ) =14ᵅ.由切比雪夫不等式可得:ᵄ(0.4 ≤ ¯ᵰ ≤ 0.6) = ᵄ(|¯ᵰ − 0.5| ≤ 0.1) ≥ 1 −14ᵅ × (0.1)2 = 1 − 25ᵅ ≥ 0.9 ⇒ ᵅ ≥ 250.所以由切比雪夫不等式估计, 至少需要掷250次才能使样本均值落在0.4 到0.6之间的概率至少为0.9.¯ᵰ − 0.5√ ︀1/(4ᵅ)= 2√ᵅ(¯ᵰ − 0.5) 近似服从标准正态分布, 所以ᵄ(0.4 ≤ ¯ᵰ ≤ 0.6) = ᵄ(︀2√ᵅ(0.4 − 0.5) ≤ 2√ᵅ(¯ᵰ − 0.5) ≤ 2√ᵅ(0.6 − 0.5))︀=2Φ (2√ᵅ × 0.1) − 1 ≥ 0.9 ⇒ Φ (0.2√ᵅ) ≥ 0.95.其中Φ (ᵆ)是标准正态分布ᵄ(0, 1)的分布函数, 查表可得Φ (1.645) = 0.95. 因此0.2√ᵅ = 1.647 ⇒ ᵅ = 67.65, 因此至少要掷68次硬币.5.4若一母体ᵰ 的方差ᵰ2 = 4, 而¯ᵰ是容量为100的子样的均值. 分别利用切比雪夫不等式和极限定理求出一个下界, 使得¯ᵰ − ᵰ(ᵰ为母体ᵰ的数学期望ᵃᵰ)夹在这界限之间的概率为0.9.解：设ᵄ(|¯ᵰ − ᵰ| ≤ ᵄ) ≥ 0.9. 注意到母体的数学期望为ᵰ, 方差为ᵰ2. 所以ᵃ ¯ᵰ = ᵰ, ᵃ¯ᵰ = ᵰ2/ᵅ =125. 由切比雪夫不等式可知:ᵄ(|¯ᵰ ...
