概率论与数理统计第二章习题及答案

1 概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布 习题2 -1 一袋中装有5 只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3 只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码，写出X 随机变量的分布律. 解：X 可以取值3 ，4 ，5 ，分布律为 1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522CCPXPCCPXPCCPXP中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X： 3 ， 4 ，5 P：106,103,101 习题2 -2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p1)10( p. （1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.） （2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以pr,为参数的巴斯卡分布.） （3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 解：（1）P (X=k)=qk－1p k=1,2,…… （2）Y=r+n={最后一次实验前 r+n－1 次有n 次失败，且最后一次成功} ,,2,1,0,)(111npqCppqCnrYPrnnnrrnnnr其中 q=1－p， 或记 r+n=k，则 P{Y=k}=,1,,)1(11rrkppCrkrrk （3）P (X=k) = (0.55)k－10.45 k=1,2… P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121kkkkXP 习题2 -3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各窗子是随机的。（1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 2 Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y 的分布律。 解：（1）X 的可能取值为1，2，3，…，n，… P {X=n}=P {前 n－1 次飞向了另 2 扇窗子，第 n 次飞了出去} =31)32(1 n， n=1，2，…… （2）Y 的可能取值为1，2，3 P {Y=1}=P {第 1 次飞了出去}= 31 P {Y=2}=P {第 1 次飞向 另 2 扇窗子中的一扇，第 2 次飞了出去} =312132 P {Y=3}=P {第 1，2 次飞向了另 2 扇窗子，第 3 次飞了出去} =31!3!2  ...