概率论习题及答案习题详解

222 习题七 ( A ) 1、设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布，nXXX,,,21为取自X 的一个样本，试求参数 p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意， X 的分布律为： ()(1),0kN kNP XkppkNk. 总体 X 的数学期望为 (1) (1)011(1)(1)1NNkN kkNkkkNNEXkppNpppkk 1((1))NNp ppNp 则EXpN.用 X 替换 EX 即得未知参数 p 的矩估计量为 ˆXpN. 设12,,nx xx是相应于样本12,,nXXX的样本值，则似然函数为 111211( ,,; )()(1)nniiiinnxnNxniiiiNL x xxpP Xxppx 取对数 111lnlnln() ln (1)nnniiiiiiNLxpnNxpx， 11ln(1)nniiiixnNxdLdppp. 223 令ln0dLdp，解得p 的极大似然估计值为 11ˆniixnpN. 从而得p 的极大似然估计量为 11ˆniiXXnpNN. 2,、设nXXX,,,21为取自总体 X 的一个样本,X 的概率密度为 22 ,0( ; )0,xxf x 其它.其中参数0 ，求 的矩估计. 解：取nXXX,,,21为母体 X 的一个样本容量为n 的样本，则 2022( )3xEXxf x dxxdx 32 EX 用 X 替换 EX 即得未知参数 的矩估计量为3ˆ2 X . 3、设12,,,nXXX总体 X 的一个样本, X 的概率密度为 0,0,0,);(1xxexxfx 其中0是未知参数，0是已知常数,求 的最大似然估计. 解：设12,,,nx xx为样本12,,,nXXX的一组观测值，则似然函数为 224 1()1121(),0( ,,,; )0,niinxnniinixexL x xx  其他 取对数 11lnlnln(1)(ln)()nniiiiLnnxx 解极大似然方程 1ln0niidLnxd 得 的极大似然估计值为1ˆniinx  从而得 的极大似然估计量为1ˆniinX  . 4、设总体 X 服从几何分布 ,10,,2,1,)1()(1pkppkXPk 试利用样本值nxxx,,,21,求参数p 的矩估计和最大似然估计. 解：因11111(1)(1)kkkkEXk pppkpp, 用 X 替换 EX 即得未知参数p 的矩估计量为1ˆpX. 在一次取样下，样本值12( ,,,)nx...