正则系综模型

2－42 2π±，相应于2π+的为正涡旋，2π−的为反涡旋。相变温度下正涡旋和反涡旋是同时出现的。对于这个体系，除了计算比热等之外，还可以计算涡度（单位面积上的涡旋数目）与温度等的关系。 2.3.2.2 Heisenberg 模型 在Heisenberg 模型中，自旋可取3维空间中的任意方向，即Hamilton 量为 (),,ijixjxiyjyizjzi ji jEJJσ σσ σσ σ= −⋅= −++∑∑σ σ， (2.3.2.2-1) 同样可以采用经典自旋的矢量模型。因此，Ising 模型中自旋矢量只有一个分量，XY 模型中有两个分量，在Heisenberg 模型中有三个分量。注意模型是以自旋矢量分量的数目区别的，每种模型中自旋占据的格子点阵则可以分别有一维、二维和三维。除了对0J >的铁磁性和0J <的反铁磁性加以区别外，在各分量之间还可进一步加上不同的权重因子以模拟各向异性的情况。除此之外，外加磁场方向只在空间中设定了某个自旋分量的优先取向，而对其它两个分量则无影响。 在系统最低能量的状态即基态上，所有自旋按照完全有序的平行或反平行排列，在有限的温度下由于热激发出现能量较高的状态。在Ising 模型中这样的激发态是自旋的反转，在Heisenberg 模型中可以出现周期性的自旋波激发，它是系统的一种集体行为（图2.3.2.2-1），其量子称为磁子（与晶格振动的声子相对应），由自旋波的Bose 统计可以推导出磁化强度与温度成3 2T的关系，该关系已经有实验结果验证。而在一维XY 模型中可以出现孤立子或孤立波激发，一维链上的自旋发生 2π 的扭转，在反铁磁情况下这种扭转有3种：一种自旋子格子上的自旋扭转π ，而另一种扭转 π− ；两种子格子的自旋各自扭转π ；一种子格子上的自旋不变，而另一种扭转2π 。对于三维Heisenberg 模型，其中的一个自旋分量在外加磁场下呈现有序，而另外两个分量出现类似于Kosterlitz-Touless 相变的束缚拓扑态激发。随着温度升高，涡度增加但正负涡旋束缚态开始解离（图2.3.2.2-2）。 图2.3.2.2-1 三种自旋系统的激发态模式：自旋波、涡旋、孤立子。 图2.3.2.2-2 反铁磁自旋系统的 KT 相变，在高温下涡旋对发生解离。 2－43 2.3.2.3 q 态Potts 模型 统计力学中的另外一个重要的模型是q 态Potts 模型，它在介观尺度的微结构模拟中有着广泛的应用。Potts 模型是Ising 模型的推广，其主要差别在于广义的自旋σ 和使用不同的Hamilton 量。σ 的取值可为q 个离散状态，以代替Ising模型中只能取“向上”和“向...