正弦定理、余弦定理和解斜三角形

正弦定理、余弦定理和解斜三角形 1、 正弦定理推导 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在Rt ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1 cCc, A 则sinsinsinabccABC b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sinabcABC C a B 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1.1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= sinsinaB bA,则sin sinabAB， C 同理可得sin sincbCB， b a 从而sin sinabABsincC A D B (图1.1-3) 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S△ABC=AbcBacCabsin21sin21sin21 两边同除以abc21即得：Aasin=Bbsin=Ccsin 证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴RCDDaAa2sinsin (R 为外接圆的半径) 同理 Bbsin=2R，Ccsin＝2R 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的研究过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sinabABsincC (1) 理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sina kA，sinb kB，sinc kC； abcOBCAD(2）sin sinabABsincC等价于sin sinabAB，sin sincbCB，sinaA sincC 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 2、 余弦定理的推导 如图 1.1-4，在  ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, C 已知a,b 和  C，求边 c。 b a A c B (图 1.1-4) 如图 1．1-5，设CBa ，CAb ，ABc ，那么 c=a-b， 2| |c=c c=(a-b)  (a-b) A =a  a + b  b -2a  b b c 从而 222 2 cosc a bab C C a B 同理可证 222 2 cosa b cbc A (图 1．1-5) 222 2 cosb a cac B 于是得...