正态分布情况下的Bayesian分类器与决策面(BayesianClassifier...

30 2.3 正态分布情况下的 Bayesian 分类器与决策面 (Bayesian Classifier and Decision Surfaces for Normal Distributions) 若一元变量x 在j 的类条件概率密度p(x/j)服从正态分布N(j, 2jσ )，即 )352(21exp212σxσxpjj 记为2jjjσμNp,~x。 对二元变量x=(x1, x2)T，若j 的类均值向量为j=(j1, j2)T，类协方差阵为222221212211jΣ，记为jjjNpΣμx,~。一般地，有12=21，即jΣ 为对称阵，它的逆矩阵为 21121222122222121222221111σσ-σ-σσσσσjΣ 这时，x 属于j 的类条件概率密度为 )362(21exp2112jjTjjjpμxΣμxΣx 一般地，若xRm 为m 维随机变量，则 x 属于j 的类条件概率密度为 31 )372(21ex p2112jjTjjjmpμxΣμxΣx （2-36）或（2-37）成立的前提条件是0jΣ，或者说jΣ可逆。 我们知道，当依据后验概率进行决策时，两个类别j 与k 的分界面 由0xxkjPP所 决 定 ，即 jj pωPx 0kk pωPx。结合（2-37），我们有 )382(021ex p2121ex p211122kkTkkkjjTjjjmmPPμxΣμxΣμxΣμxΣ 或 )392(021ex p21ln21ex p21ln1122kkTkkkjjTjjjmmPPμxΣμxΣμxΣμxΣ 于是，超维决策面方程为 32  )402(0:011kkTkjjTjk jμxΣμxμxΣμx 这里，分类阈值kjkjPPlnln2lnln0ΣΣ。 以下分几种情况对（2-40）进行讨论。 (1) j 与k 的类协方差阵相等且为对角阵，即Ikj2 ΣΣ，这时， kjPPlnln20，（2-40）化为      )412(0lnln22lnln2:22kjkTkjTjTjkkjkTkjTjk jPPPP...