求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数 y＝sinx 及 y＝cosx 是有界函数，即当自变量 x 在 R 内取一定的值时，因变量 y 有最大值 ymax＝1 和最小值 ymin＝－1，这是三角函数y＝sinx 及 y＝cosx 的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例 1 求函数 y＝2cos2x＋5sinx－4 的值域． 解 原函数可化为 当 sinx＝1 时，ymax＝1； 当 sinx＝－1 时，ymin＝－9， ∴原函数的值域是 y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例 1 中以 sinx 为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例 2 求下列函数的最值，并求出相应的 x 值． y＝asinx＋bcosx 或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为ymax＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量 y 表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域． ∴ 原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解 由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是 5 部分分式分析法 例5 求下列函数的值域： 当sinx＝－1 时，y 有极小值，y极小＝2； ∴原函数的值域是 (2)原函数化为部分分式为： ∴原函数的值域是 6 应用平均值定理求最值 例6 求函数y＝(1＋cosx)sinx，x∈[0，π ]的最大值． 解 原函数即为： 7 换元法 例7 求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域． 解 原函数即为 y＝1＋sinx＋cosx ＋sinxcosx， ∴原函数即为 8 应用二次函数的判别式求最值 解 原函数化为 9 几何法求函数的最值 两点的直线的斜率，在平面直角坐标系中作出点(2 ，2)和单位圆，则很容易确定 y 的取值范围． 得(k 2＋1 )x 2－(4 k 2－4k)x＋4k 2－8k＋3＝0， Δ ＝(4 k 2－4k)2－4 (k 2＋1 )(4 k 2－8k＋3) ＝－12k 2＋32k－12． 1 0 应用函数的单调性
