求曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲面积分的方法与技巧 一.曲线积分的计算方法与技巧 计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。 例一．计算曲线积分Lxdyydx, 其中 L 是圆)0(222yxyx上从原点)0,0(O到)0,2(A的一段弧。 本题以下采用多种方法进行计算。 解 1：AO的方程为,2,2xxyxxL 由,AO x由,20 .212dxxxxdy Lxdyydxdxxxxxxx2022]2)1(2[ dxxxxxdxxxxxxxx20220222)1(2)1(220 .00442 分析：解 1 是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为 .x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。 解 2：在弧 AO上取)1,1(B点， BO 的方程为,11,2yxyyL 由,BO y 由,10 .12dyyydx AB的方程为,11,2yxyyL 由,AB y 由,01 .12dyyydx Lxdyydxdyyyydyyyy0122210222)111()111( dyyy102212dyy10212dyyy10221210212yydyyy102212 .0)011(2 分析：解2 是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1 相同。不同的是以 y 为参数时，路径 L 不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。 解3：AO的参数方程为,sin,cos1yxL 由,ABO 由,0 .cos,sinddyddx Lxdyydxd]cos)cos1(sin[02 d]2coscos[0  .0)2sin21sin(0 解4：AO的极坐标方程为,cos2r因此参数方程为 ,cos2cos2   rx,cossin2sin  rdyL 由,ABO 由,02  .)sin(cos2,cossin422ddyddx Lxdyydxd)]sin(coscos4cossin8[2222022 .0)2214342213(4]cos4cos3[44220 d 分析...