求点到平面距离的基本方法

1 求 点 到 平 面 距 离 的 基 本 方 法 北 京 农 大 附 中 闫 小 川 求 点 到 平 面 的 距 离 是 立 体 几 何 中 的 一 个 基 本 问 题 ， 是 高 考 的 一 个 热 点 ， 也 是 同 学 学 习中 的 一 个 难 点 .本 文 通 过 对 一 道 典 型 例 题 的 多 种 解 法 的 探 讨 ， 概 括 出 求 点 到 平 面 的 距 离 的 几种 基 本 方 法 . 例 （ 2005 年 福 建 高 考 题 ） 如 图 1， 直 二 面 角EABD中 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 2的 正 方 形 ，EBAE ， F为 CE上 的 点 ， 且BF平 面 ACE. (Ⅰ)求 证：AE平 面 BCE； (Ⅱ)求 二 面 角EACB的 大 小 ； (Ⅲ)求 点 D到 平 面 ACE的 距 离 . FEDCBA 图 1 (Ⅰ)、(Ⅱ)解 略， (Ⅲ)解 如 下： 2 一 、直接法 利 用 两个 平 面 垂 直 ,直 接 作 出 点 到 平 面 的 距 离 . 如 图2,A, ,l  , lAM  ,则AM. AM 为 点 A到 平 面  的 距 离 . 图 2 解：如 图 3， 过 点 A作 AGEC， 连 结CGDG,， 则 平 面 ADG ∥平 面 BCE ， 平 面 BCE 平 面ACE ， ∴平 面 ADG 平 面ACE ， 作,AGDH 垂 足 为 H ， 则 DH  平 面ACE . ∴ DH 是 点 D到 平 面ACE 的 距 离 . 在ADGRt中 ，.332622AGDGADDH 3 ABCDEFGH 图 3 二 、平行线法 如 图4,lA ,l∥ , B 为 l上 任 意 一点, AM,BN,则BNAM .点 A到平面 的距离转化为 平行于平面 的直线l到平面 的距离，再转化为 直线l上 任 意 一点 B 到平面 的距离. 图 4 解：如 图 5，过点 D作 DMAE，连结CM ，则 DM ∥平面 ACE ， 点 D到平面 ACE 的距离转化为 直线 DM 到平面 ACE 的距离，再转化为 点 M 到平面 ACE的距离. 4 作,CEMN 垂 足 为 N ， 平 面 CEM 平 面ACE ， ∴MN平 面ACE ， ∴ MN 是 点 M 到 平 面 ACE 的 距 离 . 在CEMRt中 ，.332622CECMEMMN NMABCDEF 图 5 三 、斜线法 利 用 平 面 的 斜 线 及 三 角 形 相 似 ,转 化 为 求 斜 线 上 的 点 到 平 面...