2025年初中数学竞赛标准教程及练习比较大小VIP专享

初中数学竞赛精品原则教程及练习（21）比较大小一、内容提纲1．比较两个代数式值大小，一般要按字母取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式性质：当 a－b＞0 时，a＞b； 当 a－b＝0 时，a=b； 当 a－b＜0 时 a＜b。2．一般在写成差形式之后，用因式分解化为积形式，然后由负因数个数决定其符号。3．需要讨论可借助数轴，按零点分区。4．实数（有理数和无理数统称）平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若 a 是实数，则 a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母无论取什么值，永远成立不等式）。诸如(a－b)2≥0， a2+1＞0， a2+a+1=(a+)2+＞0－a2≤0， －（a2+a+2）＜0 当 a≠b 时，－（a－b）2＜0二、例题例1试比较 a3与 a 大小 解：a3－a=a(a+1)(a－1) a3－a=0,即 a3=a 以－1，0，1 三个零点把全体实数分为 4 个区间，由负因数个数决定其符号： 当 a＜－1 时，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3 个负因数）∴a3－a＜0 即 a3＜a 当－1＜a＜0 时 a＜0,a－1＜0（2 个负因数） ∴a3－a＞0 即 a3＞a当 0＜a＜1 时， a－1＜0（1 个负因数） ∴a3－a＜0 即 a3＜a当 a＞1 时，没有负因数， ∴a3－a＞0 即 a3＞a综上所述当 a=0,－1，1 时， a3=a当 a＜－1 或 0＜a＜1 时，a3＜a当－1＜a＜0 或 a＞1 时，a3＞a。 （试总结符号规律）例2什么数比它倒数大？解：设这个数为 x，则当并且只当 x －＞0 时，x 比它倒数大， x －＝ －1 0 1以三个零点－1，0，1 把实数分为 4 个区间，由例 1 可知当 x＞1 或－1＜x＜0 时，x 比它倒数大。例 3 己知步行速度是骑车速度二分之一，自行车速度是汽车速度二分之一，甲、乙两人同步从 A 去 B，甲乘汽车到中点，后二分之一用歩行，乙全程骑自行车，问誰先抵达？解：设从 A 到 B 有 x 千米，步行速度每小时 y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是 t甲＝， t 乙＝t 甲－t 乙＝ x＞0，y＞0 ∴t 甲－t 乙＞0答：乙先抵达 B 地例 4 己知 a≠b≠c，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca证明：a2+b2+c2－ab+bc+ca＝×2（a2+b2+c2－ab+bc+ca）＝（2a2+2b2+2c2－2ab+2bc+2ca）＝［（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2］ a≠b≠c，（a-b）2＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca又证： a≠b，∴（a-b）2＞0 a2+b2＞2ab(1) 同理 b2+c2＞2bc(2) c2+a2>2ca(3)(1)+(2)+( 3)得 2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca 即 a2+b2+c2＞ab+bc...