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2025年高考复数知识点精华总结

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复 数1.复数的概念:(1)虚数单位 i;(2)复数的代数形式 z=a+bi,(a, b∈R);(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2.复数集3.复数 a+bi(a, b∈R)由两部分构成,实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部,1 与 i分别是实数单位和虚数单位,当 b=0 时,a+bi 就是实数,当 b≠0 时,a+bi 是虚数,其中a=0 且 b≠0 时称为纯虚数。应尤其注意,a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件,若 a=b=0,则 a+bi=0 是实数。4.复数的四则运算 若两个复数 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;(4)除法:;(5)四则运算的互换率、结合率;分派率都适合于复数的状况。(6)特殊复数的运算:① (n 为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i;③ 若 ω=-+i,则 ω3=1,1+ω+ω2=0.5.共轭复数与复数的模(1)若 z=a+bi,则,为实数,为纯虚数(b≠0).(2)复数 z=a+bi 的模|Z|=, 且=a2+b2.6.根据两个复数相等的定义,设 a, b, c, d∈R,两个复数 a+bi 和 c+di 相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到 a+bi=0.两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。4.复数 a+bi 的共轭复数是 a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所示的点有关实轴对称。若 b=0,则实数 a 与实数 a 共轭,表达点落在实轴上。5.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最重要的是在运算中将 i2=-1 结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a-bi)= a2+b26.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商。由 于 两 个 共 轭 复 数 的 积 是 实 数 , 因 此 复 数 的 除 法 可 以 通 过 将 分 母 实 化 得 到 , 即.7.复数 a+bi 的模的几何意义是指表达复数 a+bi 的点到原点的距离。(二)经典例题讲解1.复数的概念例 1.实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应的点 Z 在第三象限?解:复数 z=m+1+(m-1)i 中,由于 m∈R,因此 m+1,m-1 都是实数,它们分别是 z 的实部和虚部,∴ (1)m=1 时,z 是实数; (2)m≠1 时,z 是虚数;(3)当时,即 m=-1 时,z 是纯虚数;(4)当时,即 m...

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