７２ 实验四 求微分方程的解 一、问题背景与实验目的 实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）． 对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用，本实验将作一定的介绍． 本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法． 二、相关函数（命令）及简介 1．dsolve('equ1','equ2',„)：Matlab 求微分方程的解析解．equ1、equ2、„为方程（或条件）．写方程（或条件）时用 Dy 表示 y 关于自变量的一阶导数，用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推． 2．simplify(s)：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简． 例如： syms x simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) ans=1 3．[r,how]=simple(s)：由于 Matlab 提供了多种化简规则，simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则． 例如： syms x [r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r = cos(2*x) how = combine 4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 求微分方程的数值解． 说明： (1) 其中的 solver 为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一． (2) odefun 是显式常微分方程：00 )(),(ytyytfdtdy (3) 在积分区间 tspan=],[0ftt上，从0t 到ft ，用初始条件0y 求解． ７３ (4) 要获得问题在其他指定时间点 ,210,,ttt上的解，则令 tspan= ],,,[,210ftttt（要求是单调的）． (5) 因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver． 求解器 Solver ODE 类型 特点 说明 ode45 非刚性 单步算法；4、5 阶 Runge-Kutta方程；累计截断误差达3)(x 大部分场合的首选算法 ode23 非刚性 单步算法；2、3 阶 Runge-Kutta方程；累计截断误差达3)(x 使用于精度较低的情形 ode113 非刚性 多步法；Adams 算法；高低精度均可到6310~10 计算时间比 ode45 短 ode23t 适度刚性...
