用高斯消元法求解线性代数方程组

用高斯消元法求解线性代数方程组 12341115-413-2823113-21041513-21719xxxx 1111X         （X*是方程组的精确解） 1 高斯消去法 1 .1 基本思想及计算过程 高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。 为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。 III)(323034)(5253)(6432321321321xxxxxxxxx 把方程（I）乘（23）后加到方程（II）上去，把方程（I）乘（24）后加到方程（III）上去，即可消去方程（II）、（III）中的x1，得同解方程组 III)(20223)(445.0)(64323232321xxxxxxx 将方程（II）乘（5.03 ）后加于方程（III），得同解方程组： III)(42)(445.0)(6432332321xxxxxx 由回代公式（3.5）得x3 = 2，x2 = 8，x1 = -13。 下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将 bi 写成 ai, n+1，i = 1, 2,… ,n。 1,3322111,223232221211,11313212111nnnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaaxaxaxaxaaxaxaxaxa （1-1） 如果a11  0，将第一个方程中x1 的系数化为1，得 )1(1,1)1(12)1(121nnnaxaxax 其中)0(11)0()1(1aaaijj ， j = 1, …, n + 1（记ijijaa)0(，i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n + 1） 从其它n –1 个方程中消x1，使它变成如下形式 )1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121nnnnnnnnnnnnaxaxaaxaxaaxaxax （1-2） 其中niamaaijiijij,,2)1(1)1(，1,,3,211)1(11njaamii 由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。 如果（1-2）中0)1(22 a，则以)1(22a为主元素，又可以把方程组（1-2）化为： )2(1,)2(3)2(3)3(1,3)2(33)2(33)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(12)1(121 nnnnnnnnnnnnnnnaxaxaaxaxaaxaxaxaxaxax...