直线系的问题

直线系 （1）平行直线系：与Ax＋By＋C＝0 平行的直线为：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． （2）垂直直线系：与Ax＋By＋C＝0 垂直的直线为：Bx－Ay＋C1＝0． （3）定点直线系：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和l2：A2x＋B2y＋C2＝0 相交，则过交点的直线为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0， 交点为方程组00222111CyBxACyBxA的解． 直线系问题 一、过定点的直线系 设定点P(x0,y0) 1、用斜率 k 作参数的直线系方程 y-y0=k(x-x0) (不包括无斜率的直线) 2、用 A、B 作参数的直线系方程 A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A、B 不全为0) 例：求经过P(1,2)的直线L,使点A(3,3)和B(5,2)到它的距离相等. 思路一: ①设斜率 k,用点斜式, ②再由点距公式列方程, ③求 k 出即可. 思路二:分类讨论 ①设斜率 k,用点斜式, ②当 L∥AB 时,由斜率相等可得 k; 当 L 过AB 的中点时,把 AB 中点坐标代入 L 方程,可解得 k. 二、平行线系 1、斜率是 k 的直线系方程 y=kx+b (b 为参数) 2、平行于 Ax+By+C=0 的直线系方程为 Ax+By+λ=0 (λ为参数) 3、垂直于 Ax+By+C=0 的直线系方程为 Bx-Ay+λ=0 (λ为参数) 三、过两直线交点的直线系 设 L1: A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 ①m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0 (m、n是参数) ②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ是参数但不包括 L2) 例：已知 3a+2b=1, 求证：直线 ax+by+2(x-y)-1=0 过定点,并求该定点坐标. 思路一： 由 3a+2b=1 得:b= 1 2 (1-3a) 代入直线系方程 ax+by+2(x-y)-1=0 整理得(2x – 3 2 y-1)+a(x - 3 2 y)=0 由32102302xyxy , 得交点(1, 23 ) ∴直线过定点(1, 23 ). 思路二：赋值法 令 a=0 得 b= 12 得 L1: 2x - 3 2 y-1=0 令 b=0 得 a= 13 得 L2: x – 3 2 y=0 由32102302xyxy , 得交点(1, 23 ) 把交点坐标代入原直线方程左边得: 左边= 1 3 (3a+2b-1) 3a+2b-1=0 ∴左边=0 这说明只要 3a+2b-1=0 原直线过定点(1, 23 ). 例:求证:无论λ为何值, 直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0 与点 P(-2,2)的距离 d 都小于 4 2 . 证明： 将直线方程按参数λ整理得 (2x-y-6)+λ(x-y-4)=0 故该直线系恒过二直线 2x-y-6=0 和 x-y-4=0 的交点 M 易解得 M(2,-2) 求得|PM|=4 2 所以 d≤4 2 而过点 M 垂直 P...