直角三角形斜边上中线性质的应用 蔡志武 张玉平 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。但在初中数学教材中它却是以矩形性质（矩形的对角线相等）的推论形式出现的，因而很容易造成学生忽视这一性质的应用．从实际教学的反馈来看确有很多学生应用它解决问题有困难．下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用．仅供参考． 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=，D为BC的中点，则。 2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点， 所以， 所以AD=BD=DC=， 所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠3=2∠4， ∠ADC=2∠1=2∠2。 因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、求值 例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ． 解析：由性质可知：CD， 所以AB=2CD=8． 例2、（2006年上海市中考）已知：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边上的中点，BC=14，AD=12， 。求的值。 解析：由性质拓展可知：∠EDC=∠C。要求tan∠EDC的值，可转化为求tan∠C的值。 在Rt△ADB中，， 所以AB=15。 由勾股定理得： ， 所以DC=BC－BD=5。 在Rt△ADC中，tan∠C=， 所以tan∠EDC=。 2、证明线段相等 例3、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长 BA到 D点，使，点 E、F分别为边 BC、AC的中点。 （1）求证：DF=BE； （2）过点 A作 AG∥BC，交 DF于 G。求证：AG=DG。 分析：（1）因为 E为 BC的中点， 所以BE= 。 要证DF=BE，即为， 连 AE，AE= ，只需证DF=AE。 因为 EF为△ABC的中位线， 所以EF，而AD= ， 所以 。 故四边形AEFD为平行四边形。 所以DF=AE，从而DF=BE这一命题得证。 （2）由性质拓展可知：∠1=∠2。 由（1）得AE∥DF，所以∠2=∠D。 因为AG∥BC，所以∠1=∠DAG， 因此∠D=∠DAG，所以DG=AG。 3、证明角相等及角的倍分关系 例4、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。 分析：因为BD、CE分别为AC...
