相似三角形的周长与面积、位似

相似三角形的周长与面积、位似 一、一周知识概述 （1）相似三角形中对应线段的比的性质； （2）相似多边形的周长的性质 （3）相似三角形的面积的性质 （4）位似图形的概念、性质与位似变换． 二、重难点知识归纳 (1)相似三角形对应高(对应中线、对应角平分线，对应中位线)的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 运用此性质时应注意以下几点： ①面积比=（相似比）2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=； ②面积比=． (2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比； 相似多边形中对应对角线的比等于相似比； 相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． (3)位似图形必须满足的两个条件： ①两个图形是相似图形； ②两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合． (4)位似图形的性质 位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． （5）图形的相似与位似图形的区别与联系： 两个图形是相似图形，但不一定是位似图形； 两个图形是位似图形，它们一定是相似图形． (5)位似变换的点的坐标求法 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k． 三、典型例题讲解 例1、如图所示，矩形DEFG 内接于△ABC，即点D 在AB 上，点G 在AC 上，E、F在BC 上，AH⊥BC 于H，且交DG 于N，BC=18cm ，AH=12cm ，DE∶DG=2∶3，求矩形DEFG 的周长． 分析： 由DG∥BC，可得△ADG∽△ABC，所以有，据此比例式可列方程求解． 解： 由题意可设DE=2x，则DG=3x，NH=2x， DG∥BC，∴△ADG∽△ABC， ∴，即， 解得x=2， ∴DE=2x=4cm，DG=3x=6cm， ∴矩形的周长为2×(6＋4)=20cm． 点评： 本题的关键是由相似三角形对应高的比等于相似比这一性质建立比例式，得到已知线段与未知线段之间的数量关系，从而通过设未知数，列方程求解，体现了数形结合的思想． 例2、如图，△ABC 是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高． 分析： 此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小． 解： (1)如图(1)，设正方形CDEF 的边长为x cm． EF∥AC， ． 解之得． (2)如图(2)，设正方形DEFG 的边长为y cm．...