秩亏网平差若干计算方法 1.概述 在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵 都是满秩的，由此得到的法方程系数阵 也是满秩的，即法方程有唯一解。这是经典平差的范畴。 自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。此时的误差方程的系数阵 是列亏阵，由此所得的法方程系数阵 也是秩亏阵。一般设网中全部的待定坐标个数为 ，必要观测数为 ，全部观测数为 ， 为 阶矩阵，相应的法方程系数阵 是 阶矩阵， ，秩亏数都为 ，所以法方程有无穷组解。这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以 就是网中必要的起算数据个数。对于水准网，必要起算数据是一个点的高程，故 ；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故 ；对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故 。 2 .秩亏网平差模型 以间接平差为例，令 个坐标参数的平差值为 ，观测向量为 ，则秩亏网的误差方程为： （1） 式中， ， ， ， 随机模型是： （2 ） 根据最小二乘原理，在 下，可组成发方程如下： （3） 若是按照直接解法用如下的方程组来解求 的解： （a） 容易得到 ，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但有无穷多组 的解，无法求得唯一的 ，因为参数 必须在一定的坐标基准下才能唯一确定。为了得到 的唯一解，增加 个坐标基准约束条件，即： (4) 在限制条件 下，得到法方程如下： （5） 由此可以根据下面的方程组解得 的唯一解： （b） 由上述方程组（b），可以得到： （ ） （ ） （ ） (7) 3.矩阵分解应用于秩亏网平差 3.1 奇异值分解用于秩亏网平差 可以看出，上面提到的这种计算秩亏网平差的方式很复杂，现在我们不妨把秩亏自由网平差看成在满足最小二乘 和最小范数 的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，也就是通过对如下的方程组来解求 的唯一解： (c) 这是个复杂的方程组，如果按照正常求解的方法是很困难的，下面我们把矩阵的奇异值分解融合进来。 矩阵的奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在最优化问题、特征值问题和广义逆问题及统计学问题中都有重要的应用。对秩为 的 阶矩阵 进行奇异值分解的步骤是：1）求得 的特征值 ， ,及对应的特征向量并正交单...
