空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示 [本周重点]：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式，距离公式。 [本周难点]：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。 [知识要点]： 一、空间直角坐标系中空间向量的直角坐标表示 在空间直角坐标系O一xyz中,以 为单位正交基底, 对空间任一点A,对应向量 ,存在唯一一组有序实数组 x、y、z，使 ，则在空间直角坐标系中，点A 的坐标为(x,y,z)，其中 x 叫做点A 的横坐标；y 叫做点A 的纵坐标；z 叫做点A 的竖坐标. 向量 的坐标为(x,y,z)。 （1）空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O 和一个单位正交基底 （ 按右手系排列）建立的坐标系，做题选择坐标系时，应注意点O 的任意性，原点O的选择要便于解决问题，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。 （2）空间任一点P 的坐标确定的办法如下：作 P 在 XOY 平面上的射影点 ，求出 在XOY 平面内的坐标 （x，y，0），求出 并确定符号即 z，得坐标P（x，y，z）。 二、空间向量的直角坐标运算： 设 则 (1) + =(a1+b1,a2+b2,a3+b3); (2) - =(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3) =a1b1+a2b2+a3b3. (4) // 或 . (5) a1b1+a2b2+a3b3=0. (6)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 三、夹角和距离公式： 1、向量 与 的夹角：设 则 . 注意： （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中 θ 的范围是 (2) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意这些角度与 θ 的关系（相等，互余，互补）。 2、两点距离公式：设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间两点，则 两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量 的坐标表示，然后再用模长公式推出。 3、平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在的直线垂直于平面 α,则称这个向量垂直于平面 α,记作 .如果 ,那么向量 叫做平面 α 的法向量 四、利用向量的坐标理论完成解题的程序： 建立空间直角坐标系 O-xyz，对空间图形中的向量 进行量化处理，用坐标(x,y,z)进行表示.利用坐标运算与图形的数量关系、位置关系之间的对应，完成解题过程. 重点例题讲解： 例1 ．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。设 （Ⅰ）求 （Ⅱ）若向量 与 互相垂直，求 k 的值。 分析： （Ⅰ）利用数量积定义求 cos ，再求 ； （Ⅱ）先求出 与 坐标表示，利用数量积为 0 求 k 解： （...