立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题 一、外心问题（若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的 外心） 例1．设P 是ΔABC 所在平面α外一点，若PA，PB，PC 与平面α所成的角都相等，那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 如图所示，作PO⊥平面α于O，连OA、OB、OC，那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC 与平面α所成的角，且已知它们都相等. ∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO. ∴OA＝OB＝OC ∴应选B. 例2． Rt△ABC 中，∠C＝９０°，BC＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A，B，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM⊥AC；（２）求 P 到直线 AC 的距离；（３）求 PM 与平面ABC 所成角的正切值． 解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点． 证明 （１） PA＝PC，M 是AC 中点，∴PM⊥AC 解 （２） BC＝３６，∴MH＝１８，又 PH＝８０， ∴PM＝8218802222 MHPH，即 P 到直线 AC 的距离为８２； （３） PM=PB=PC，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心， ∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H。 PH⊥平面ABC，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影， 则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan∠PMH＝9401880 MHPH 例3．斜三棱柱 ABC—A1B1C1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A1到 A、B、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。 解析： A1A=A1B=A1C ∴ 点A1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线 AD 上 AB=AC ∴ AD⊥BC AD 为A1A 在平面ABC 上的射影 ∴ BC⊥AA1 ∴ BC⊥BB1 ∴ BB1C1C 为矩形，S=BB1×BC=156 取 AB 中点E，连A1E A1A=A1B ∴ A1E⊥AB ∴ 12)2AB(AAEA2211 ∴ 20SSBBAACCAA1111 ∴ S侧=396 二、内心问题（若P点到三边AB,BC,CA 的距离相等，则O 是三角形ABC的 内心） 例4．如果三棱锥S—ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ΔABC 内，那么 O 是ΔABC 的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明 O 到ΔABC 的三边的距离相等，因而 O 是ΔABC 的内心，因此选 D. 说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它...