立体几何中三角形的四心问题 一、外心问题(若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的 外心) 例1.设P 是ΔABC 所在平面α外一点,若PA,PB,PC 与平面α所成的角都相等,那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 如图所示,作PO⊥平面α于O,连OA、OB、OC,那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC 与平面α所成的角,且已知它们都相等. ∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO. ∴OA=OB=OC ∴应选B. 例2. Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=36,若平面ABC 外一点P 与平面A,B,C 三点等距离,且P 到平面ABC 的距离为80,M 为AC 的中点.(1)求证:PM⊥AC;(2)求 P 到直线 AC 的距离;(3)求 PM 与平面ABC 所成角的正切值. 解析:点P 到△ABC 的三个顶点等距离,则P 在平面ABC 内的射影为△ABC的外心,而△ABC 为直角三角形,其外心为斜边的中点. 证明 (1) PA=PC,M 是AC 中点,∴PM⊥AC 解 (2) BC=36,∴MH=18,又 PH=80, ∴PM=8218802222 MHPH,即 P 到直线 AC 的距离为82; (3) PM=PB=PC,∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心, ∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H。 PH⊥平面ABC,∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影, 则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角,∴tan∠PMH=9401880 MHPH 例3.斜三棱柱 ABC—A1B1C1的底面△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,A1到 A、B、C 三点的距离都相等,且AA1=13,求斜三棱柱的侧面积。 解析: A1A=A1B=A1C ∴ 点A1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心,在∠BAC 平分线 AD 上 AB=AC ∴ AD⊥BC AD 为A1A 在平面ABC 上的射影 ∴ BC⊥AA1 ∴ BC⊥BB1 ∴ BB1C1C 为矩形,S=BB1×BC=156 取 AB 中点E,连A1E A1A=A1B ∴ A1E⊥AB ∴ 12)2AB(AAEA2211 ∴ 20SSBBAACCAA1111 ∴ S侧=396 二、内心问题(若P点到三边AB,BC,CA 的距离相等,则O 是三角形ABC的 内心) 例4.如果三棱锥S—ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的角都相等,且顶点S 在底面的射影O 在ΔABC 内,那么 O 是ΔABC 的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明 O 到ΔABC 的三边的距离相等,因而 O 是ΔABC 的内心,因此选 D. 说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心,它...