立体几何中的最值与动态问题

立体几何中的最值问题 海红楼 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1 . 在正四棱锥S-ABCD 中，SO⊥平面ABCD 于O，SO=2，底面边长为2 ，点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，则P、Q 两点的最短距离为（ ） A. 55 B. 552 C. 2 D. 1 解析：如图1，由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ⊥SC，在Rt△SOC 中，552OQ中。又P 在BD 上运动，且当P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为552，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。 图1 二、定性分析法求最值 例2 . 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。 解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O，连结 AO，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α于E，则BE=CD。连结 AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan∠BAO=3·tan30°= 3 。故3CD。 图2 三、展成平面求最值 例3 . 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱 AB、BC、CD、DA 于点 P、Q、R、S，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A 与 A’、D 与 D’在四面体中是同一点，且''////DABCAD，'// CDAB，A、C、A’共线，D、B、D’共线，BDDDAA2''。又四边形PQRS 在展开图中变为折线 S’PQRS，S’与 S 在四面体中是同一点。因而当 P、Q、R 在 S’S 上时，RSQRPQPS'最小，也就是四边形PQRS 周长最小。又''SAAS，所以最小值''DDSSLbBD22。故选 B。 图3-2 四、利用向量求最值 例4 . 在棱长为 1 的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则 GP+PB 的最小值为_______。 解析：以 A 为坐标原点，分别以 AB、AD、AE 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图4 所示的空间直角坐标系，则 B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设 P（x，0，x），则)01(xxBP，，...