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立体几何中的最值与动态问题

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立体几何中的最值问题 海红楼 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1 . 在正四棱锥S-ABCD 中,SO⊥平面ABCD 于O,SO=2,底面边长为2 ,点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动,则P、Q 两点的最短距离为( ) A. 55 B. 552 C. 2 D. 1 解析:如图1,由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动,先让点P 在BD 上固定,Q 在SC 上移动,当OQ 最小时,PQ 最小。过O 作OQ⊥SC,在Rt△SOC 中,552OQ中。又P 在BD 上运动,且当P 运动到点O 时,PQ 最小,等于OQ 的长为552,也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。 图1 二、定性分析法求最值 例2 . 已知平面α//平面β,AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD,AB=3,直线AB 与平面α成30°角,则线段CD 的长的最小值为______。 解析:如图2,过点B 作平面α的垂线,垂足为O,连结 AO,则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α于E,则BE=CD。连结 AE,因为AB⊥CD,故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中,BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan∠BAO=3·tan30°= 3 。故3CD。 图2 三、展成平面求最值 例3 . 如图3-1,四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形,且AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c。平面α分别截棱 AB、BC、CD、DA 于点 P、Q、R、S,则四边形PQRS 的周长的最小值是( ) A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 解析:如图3-2,将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形,且AB=CD,AC=BD,AD=BC,所以,A 与 A’、D 与 D’在四面体中是同一点,且''////DABCAD,'// CDAB,A、C、A’共线,D、B、D’共线,BDDDAA2''。又四边形PQRS 在展开图中变为折线 S’PQRS,S’与 S 在四面体中是同一点。因而当 P、Q、R 在 S’S 上时,RSQRPQPS'最小,也就是四边形PQRS 周长最小。又''SAAS,所以最小值''DDSSLbBD22。故选 B。 图3-2 四、利用向量求最值 例4 . 在棱长为 1 的正方体ABCD-EFGH 中,P 是AF 上的动点,则 GP+PB 的最小值为_______。 解析:以 A 为坐标原点,分别以 AB、AD、AE 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图4 所示的空间直角坐标系,则 B(1,0,0),G(1,1,1)。根据题意设 P(x,0,x),则)01(xxBP,,...

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