第1讲截长补短模型VIP专享

- 1 - 中考数学几何模型 1：截长补短模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解. 典题探究 启迪思维 探究重点 例题 1 . 如图，AB∥CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，若E 在AD 上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD． 【解答】证明：如图所示： （1） BE、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又 AB∥CD， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠BEC=90°， ∴BE⊥CE． （2）在BC 上取点 F，使 BF=BA，连接 EF． 在△ABE 和△FBE 中，，∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴∠A=∠5． AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°， - 2 - ∴∠5+∠D=180， ∠5+∠6=180°， ∴∠6=∠D， 在△CDE 和△CFE 中，，∴△CDE≌△CFE（AAS）， ∴CF=CD． BC=BF+CF， ∴BC=AB+CD， 变式练习>>> 1. 已知△ABC 的内角平分线AD 交BC 于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC. 答案：略 例题 2 . 已知△ABC 中，∠A=60°，BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，BD、CE 交于点 O，试判断 BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由． 【解答】解：在 BC 上取点 G 使得 CG=CD， ∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°， ∴∠BOE=∠COD=60°， 在△COD 和△COG 中，， ∴△COD≌△COG（SAS）， ∴∠COG=∠COD=60°， ∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE， 在△BOE 和△BOG 中，， ∴△BOE≌△BOG（ASA）， ∴BE=BG， ∴BE+CD=BG+CG=BC． - 3 - 变式练习>>> 2. 已知：△ABC 中，AB=AC，D 为△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD 与 AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【解答】解：AB=BD+CD， 理由是：延长 CD 到 E，使 DE=BD，连接 AE， ∠ADB=90°﹣∠BDC， ∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣， ∴∠ADB=∠ADE， 在△...