第2 章 度量空间与连续映射 从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． §2.1 度量空间与连续映射 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念． 注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念． 注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法． 首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R 称为在点∈R 处是连续的，如果对于任意实数ε ＞0，存在实数δ ＞0，使得对于任何 x∈R，当|x-|<δ 时,有 |f(x)-f()|<ε .在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念. 定义2.1.1 设 X 是一个集合，ρ ：X×X→R．如果对于任何 x，y，z∈X，有 （1）（正定性），ρ (x,y)≥0 并且 ρ (x,y)＝0 当且仅当 x=y； （2）(对称性)ρ (x,y)=ρ (y,x)； （3）（三角不等式）ρ (x,z)≤ρ (x,y)+ρ (y,z) 则称 ρ 是集合 X 的一个度量． 如果 ρ 是集合 X 的一个度量，称（X，ρ ）是一个度量空间，或称 X 是一个对于 ρ 而言的度量空间．有时，或者度量ρ 早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称 X 是一个度量空间．此外，对于任意两点 x，y∈X，实数ρ (x，y)称为从点 x 到点 y 的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ ：R×R→R 如下：对于任意 x，y∈R，令 ρ （x，y）=|x-y|．容易验证 ρ 是R 的一个度量，因此偶对（R，ρ ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ ，称为 R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称 R 为实数空间．（今后我们说实数空间...
