第3章矩阵及其运算

第3 章 矩阵及其运算 3 .1 基本要求、重点难点 基本要求： 1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则. 3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵. 6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3 .2 基本内容 3 .2 .1 3 .2 .1 重要定义 定义 3 .1 由nm个数)2,1;,2,1(njmiaij组成的m 行n列的数表成为一个m 行n列矩阵，记为 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 简记为 Anmija)(，或 A)(ija,nmA ,mnA 注意行列式与矩阵的区别： （1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相同. （3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5） 当0||A时，||1A 有意义，而 A1无意义. nm 的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在运算中可看做一个数. 对角线以下（上）元素都是0 的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵，又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是 0 的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是 1 的n阶矩阵叫n阶单位矩阵，常记为nE （或nI ），简记为 E （或I ），元素都是 0 的矩阵叫零矩阵，记为nm0 ，或简记为 0 . 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =nmija)(，则Anmija)(称为 A 的负矩阵. 若 A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针 A 的行列式，记为|| A 或ADet. 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为TA 或A . 若方阵A 满足AAT ，则称 A 为对称矩阵，若方阵A 满足AAT，则称 ...