第3 章 矩阵及其运算 3 .1 基本要求、重点难点 基本要求: 1.1.掌握矩阵的定义. 2.2.掌握矩阵的运算法则. 3.3.掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4.4.掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5.5. 掌握初等变换和初等矩阵的概念,能够利用初等变换计算矩阵的秩,求可逆矩阵的逆矩阵. 6.6.掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点:重点是矩阵定义,矩阵乘法运算,逆矩阵的求法,矩阵的秩,初等变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法,求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3 .2 基本内容 3 .2 .1 3 .2 .1 重要定义 定义 3 .1 由nm个数)2,1;,2,1(njmiaij组成的m 行n列的数表成为一个m 行n列矩阵,记为 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 简记为 Anmija)(,或 A)(ija,nmA ,mnA 注意行列式与矩阵的区别: (1) (1) 行列式是一个数,而矩阵是一个数表. (2) (2) 行列式的行数、列数一定相同,但矩阵的行数、列数不一定相同. (3) (3) 一个数乘以行列式,等于这个数乘以行列式的某行(或列)的所有元素,而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. (4) (4) 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可,而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. (5) (5) 当0||A时,||1A 有意义,而 A1无意义. nm 的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号,它在运算中可看做一个数. 对角线以下(上)元素都是0 的矩阵叫上(下)三角矩阵,既是上三角阵,又是下三角的矩阵,也就是除对角线以外的元素全是 0 的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中,对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵;数量矩阵中,对角线元素全是 1 的n阶矩阵叫n阶单位矩阵,常记为nE (或nI ),简记为 E (或I ),元素都是 0 的矩阵叫零矩阵,记为nm0 ,或简记为 0 . 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵,两个同型矩阵的且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =nmija)(,则Anmija)(称为 A 的负矩阵. 若 A 是方阵,则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针 A 的行列式,记为|| A 或ADet. 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵,记为TA 或A . 若方阵A 满足AAT ,则称 A 为对称矩阵,若方阵A 满足AAT,则称 ...