1 第五章 大数定律与中心极限定理 随机现象的规律只有在大量随机现象的考察中才能显现出来。 研究大量的随机现象,常常采用极限形式。 极限定理的内容很广泛,其中最重要的有二种:大数定律与中心极限定理。 1 大数定律 事件发生的频率具有稳定性; 大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 大数定律就是从这种稳定性的研究中得出的。 定理一(契比雪夫大数定律)设随机变量序列,,,,21nXXX…相互独立,且具有相同的数学期望和方差:.,2,1,2kXDXEkk前 n个随机变量的算术平均: nkkXnX11 对于任意正数,有 ||limXPn =.1|1|1limnkknXnP 则称{Xn}服从大数定律。 证:由于 ,11111 nnXEnXnEnkknkk ,111222121nnnXDnXnDnkknkk 由契比雪夫不等式可得: 2 ./1|1|221nXnPnkk 在上式中令,n并注意到概率不能大于1,即得: .1|1|lim1nkknXnP 定理一给出了关于平均值稳定性的科学的描述。 上式的意义: |1|1nkkXn是一个随机事件,等式表明,当n时,这个事件的概率趋于1。即对于任意正数,当n充分大时,不等式 |1|1nkkXn成立的概率很大。 还表明,当n 很大时,随机变量nXXX,,,21的算术平均nkkXnX11接近于数学期望 kXEXEXE21.这种接近是在概率意义下的接近。 说明平均结果nkkXnX11渐趋稳定性。即单个随机现象的行为对大量随机现象共同产生的总平均效果E(nX)几乎不发生影响。即尽管某个随机现象的具体表现不可避免地引起随机偏差,然而在大量随机现象共同作用时,这些随机偏差相互抵消、补尚与拉平,致使总平均结果趋于稳定。 例如在分析天平上称量一质量为µ 的物 品,以nXXX,,,21表示 n次重复 3 测量结果,经验告知,当n充分大时,其平均值 nkkXnX11对µ 的偏差是很小的。 定义:设,,,,21nYYY是一个随机变量序列,a是一个常数。若对于任意正数,有: ,1||limaYPnn 则称序列,,,,21nYYY依概率收敛于 a,记为: .aYPn 依概率收敛的序列还有以下的性质: 设,aXPn,bYPn又设函数 g(x,y)在点(a,b)...