第5章大数定律及中心极限定理

1 第五章 大数定律与中心极限定理  随机现象的规律只有在大量随机现象的考察中才能显现出来。  研究大量的随机现象，常常采用极限形式。  极限定理的内容很广泛，其中最重要的有二种：大数定律与中心极限定理。 1 大数定律  事件发生的频率具有稳定性；  大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 大数定律就是从这种稳定性的研究中得出的。 定理一（契比雪夫大数定律）设随机变量序列,,,,21nXXX…相互独立，且具有相同的数学期望和方差：.,2,1,2kXDXEkk前 n个随机变量的算术平均： nkkXnX11 对于任意正数，有  ||limXPn =.1|1|1limnkknXnP 则称{Xn}服从大数定律。 证：由于 ,11111 nnXEnXnEnkknkk ,111222121nnnXDnXnDnkknkk 由契比雪夫不等式可得： 2 ./1|1|221nXnPnkk 在上式中令,n并注意到概率不能大于1，即得： .1|1|lim1nkknXnP  定理一给出了关于平均值稳定性的科学的描述。  上式的意义： |1|1nkkXn是一个随机事件，等式表明，当n时，这个事件的概率趋于1。即对于任意正数，当n充分大时，不等式 |1|1nkkXn成立的概率很大。  还表明，当n 很大时，随机变量nXXX,,,21的算术平均nkkXnX11接近于数学期望    kXEXEXE21.这种接近是在概率意义下的接近。  说明平均结果nkkXnX11渐趋稳定性。即单个随机现象的行为对大量随机现象共同产生的总平均效果E(nX)几乎不发生影响。即尽管某个随机现象的具体表现不可避免地引起随机偏差，然而在大量随机现象共同作用时，这些随机偏差相互抵消、补尚与拉平，致使总平均结果趋于稳定。 例如在分析天平上称量一质量为µ 的物 品，以nXXX,,,21表示 n次重复 3 测量结果，经验告知，当n充分大时，其平均值 nkkXnX11对µ 的偏差是很小的。 定义：设,,,,21nYYY是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数，有： ,1||limaYPnn 则称序列,,,,21nYYY依概率收敛于 a，记为： .aYPn 依概率收敛的序列还有以下的性质： 设,aXPn,bYPn又设函数 g(x,y)在点(a,b)...