第5章梁的弯曲

1 第5 章 变分原理在结构力学中应用--梁的弯曲 简单起见，本节仅考虑直梁、且梁的轴线与 x 轴重合，,y z 为截面的主轴方向，xyz构成右手坐标系。 5 .1 梁弯曲的基本方程 5 .1 .1 梁的弯曲假定 以下我们分三部分来叙述梁的弯曲假定。 (1 ) 平面假定 在yM 和zM 的共同作用下，梁上的 d x 微段的两截面将发生(绕形心的)相对转动。 平面假定：梁横截面在变形后仍保持平面。 设微段的一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生两种相对位移(见下图)： 图5 .1 梁的平面假定 在yM 作用下绕 y 轴的转动： d(d)yuz 在zM 作用下绕 z 轴的转动： d(d)zuy  由于上述两种位移都很小，所以总的轴向位移 d u 为 d(d)(d)yzuzy (5 .1 .1 ) 其中 dy 和 dz 为 d x 微段两截面分别绕 y 轴和 z 轴相对转过的角度，从而正应变为： xyzuzyx (5 .1 .2 ) 其中 ddyyx——梁轴线在 xz坐标面内弯曲的曲率半径； ddzzx——梁轴线在 xy坐标面内弯曲的曲率半径。 注意，在轴线上0x ，这是由于我们只考虑弯曲变形、而没有考虑拉伸变形，从而假定中的截面只绕形心转动，而没有轴向平动。 (2 ) 横向挤压应力为零假定 2 横向挤压应力为零假定: 假定y 和z 可以忽略。 这个假定使得我们可以利用单向拉(压)的胡克定律 xxyzEEEzy (5.1.3) 由此可以计算内力： 11xxyzAyzFdAESESN (5.1.4) 11yxyyzAyzMzdAEIEI (5.1.5) 11zxyzzAyzMydAEIEI   (5.1.6) 其中 22d, d d, d, dyzAAyzyzAAASz ASy AIzAIyAIyz A 分别是横截面对 yz、轴的静矩，对 yz、轴的惯性矩和惯性积。对于确定的截面，这些量均为已知。 如果截面上的坐标轴取形心主轴(即原点在形心、坐标轴为惯性主轴)，则 0yzSS, 0yzI 从而 N0xF 从式(5.1.5)、(5.1.6)直接解得 11, yzyyzzMMEIEI (5.1.7) 代入式(5.1.3)得 yzxyzM zM yII  (5.1.8) 这样，当弯矩yM 和zM 给定后，轴向应力x 的分布就给定了。 上述各式中的yEI 和zEI 分别称为梁在两个坐标平面内的抗弯刚度。 (3) 直法线假定 现在我们来研究曲率半径y 和z 与形心位移之间的关系。 设轴线由各截面的形心连接而成，轴线上的横向位移在坐标系(以后我们均取...