第5章粘性流体动力学基本方程组

- 62 - 第5 章 粘性流体动力学基本方程组 5.1 粘性流体动力学基本方程 流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。 这三大定律对流体运动的数学描述就是动力学基本方程组。 但这个方程组是不封闭的，要使其封闭还需加上辅助的物性关系等。 一般情况下，现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义，因为所有的流动现象都是由这个方程组所规定的。 粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。 因此研究涡的产生、输运和扩散就是很重要的了。 这些性质也都是由流体动力学基本方程组所规定的。 对流体运动的描述有两种方法，即拉格朗日法和欧拉法；对基本定理的数学表述也有两种方法，即积分形式和微分形式。 本章将采用欧拉法和微分形式来表述基本方程。 5.1.1 质量守恒定律——连续方程 连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。 由于不涉及力的问题，因此粘性流体力学与非粘性流体方程完全相同，在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效。 考察流体通过一微元体的界面所引起的微元体内质量的变化问题。 根据质量守恒定律，单位体积上通过微元体界面流出的质量流量即矢量u 的散度u ，它应等于微元体内单位时间单位体积所减少的质量： 0t u (5.1.1) 展开后得： 0uvwtxyz (5.1.2) 连续方程表示单位时间内流人流出微元体的质量必与密度变化相平衡。 对于定常流，此式可变为： 0uvwxyz (5.1.3) 0u (5.1.4) 对于不可压缩流，(5.1.2)式变为：    0uvwxyz 即 iiux= 0 (5.1.5) 由张量分析的知识可知，iiux是应变量张量的主对角线上三元素之和，恒为常数，表示微元体的体积变化率。 式(5.1.5)表示总的体积变化率为零，与流体的不可压缩一致。 - 63 - 5.1.2 动量守恒定律——运动方程 粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律的数学表述，可由牛顿第二定律推出。 以微元体为分析对象则可表述为：在惯性系中，流体微元体的质量和加速度的乘积等于该微元体所受外力的合力。 对于流体运动应考虑两类外力：一为彻体力（用F 来表示），它是作用在微元体上所有质量上的力，如重力；另一类为表面力（用P 来表示），...