第7章梁的弯曲变形与刚度

第7 章 梁的弯曲变形与刚度 概述 梁平面弯曲时其变形特点是：梁轴线既不伸长也不缩短，其轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，而且处处与梁的横截面垂直，而横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动了一个角度（图7-1）。显然，梁变形后轴线的形状以及截面偏转的角度是十分重要的，实际上它们是衡量梁刚度好坏的重要指标。 本章的主要目的是：1 研究梁变形后轴线以及截面偏转角度应满足的方程。2梁的变形与梁横截面上内力间的关系。3 建立梁的刚度条件，从而判别工程中的梁是否满足刚度要求，或者控制梁的变形以满足实际工程的刚度要求。 7 .1 梁弯曲变形的基本概念 7 .1 .1 挠度 在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。 梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。 图7-1 梁平面弯曲时的变形 (a) )(xqxFm(b) )(xqxFm 挠曲线的曲线方程： )(xww  （7-1） 称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿 y轴的正向（向上）为正，沿 y轴的负向（向下）为负（图 7-4）。 必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。 7 .1 .2 转角 梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图 7-3）。 转角随梁轴线变化的函数： )(x  （7-2） 称为转角方程或转角函数。 由图 7-3 可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴 x的正方向之间的夹角。所以有：xxwd)(dtan,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以和tan是同阶小量，即：tan，于是有： xxwxd)(d)( （7-3） 即转角函数等于挠度函数对 x的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图 7-4）。 需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。 图7-2 梁的挠曲线 l)(xwxy...