华东第四版数学分析答案【篇一：数学分析上册第三版华东师范大学数学系编】部分习题参考解答p.4习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a+x是无理数；（2）当a?0时，ax是无理数。证明（1）（反证）假设a+x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知x=a+x–a“是有理数。这与题设x”为无理数矛盾，故a+x是无理数。（2）假设ax是有理数，于是x?ax是无理数。5．证明：对任何x?r有（1）|x?1|?|x?2|?1；（2）|x?1|?|x?2|?|x?3|?2证明（1）1?|(x?1)?(x?2)|?|x?1|?|x?2|（2）因为2?|x?3|?|2?(x?3)|?|x?1|?|x?1|?|x?2|，所以|x?1|?|x?2|?|x?3|?26．设a,b,c?r证明|?axa“是有理数，这与题设x”为无理数矛盾，故a?b22?a?c22|?|b?c|证明建立坐标系如图，在三角形oac中，oa的长度是a?b，oc的长度是a?c，ac的长度为|b?c|。因为三角形两边的差大于第三边，所以有2222|a?b22?a?c22|?|b?c|7．设x?0,b?0,a?b，证明a?xb?xa?bb?xa?xb?x介于1与abab之间。证明因为?1??|a?b|b??1，a?xb?xa?xb?x?abab?(b?a)xb(b?x)?|a?b|b?ab?1所以介于1与之间。p是无理数。p?nm8．设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则证明（反证）假设p为有理数，则存在正整数m、n使得，其中m、n互素。于是m2p?n2，因为p不是完全平方数，所以p能整除n，即存在整数k，使得n?kp。于是m2p?k2p2，m2?k2p，从而p是m的约数，故m、n有公约数p“。这与m、n”互素矛盾。所以p.9习题2．设s为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）s无上界；若?m，?x0?s，使得x0?m，则称s无上界。（请与s有上界的定义相比较：若?m，使得?x?s，有x?m，则称s有上界）（2）s无界。若?m?0，?x0?s，使得|x0|?m，则称s无界。（请与s有界的定义相比较：若?m?0，使得?x?s，有|x|?m，则称s有界）3．试证明数集s?{y|y?2?x,x?r}有上界而无下界。2证明?x?s，有y?2?x?2，故2是s的一个上界。2p是无理数。1而对?m?0，取x0?集s无下界。23?m，y0?2?x0??1?m?s，但y0??m。故数4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）s?{x|x2?2,x?r}解sups?类似进行）。?x?s，有?下面依定义加以验证sups?2，infs??2。2（infs??2可2?x?2，即2是s的一个上界，?2是s的一个下界。2???2，则由实???2，若???2，则?x0?s，都有x0??；若?2???r?数的稠密性，必有实数r，使得?sups?2。2，即r?s，?不是上界，所以（2）s?{x|x?n!,n?n?}解s无上界，故无上确界，非正常上确界为sups???。infs?1。?x?s，有x?n!?1，即1是s的一个下界；???1，因为1?1!?s，即?不是s的下界。所以infs?1。(3)s?{x|x为(0,1)内的无理数}解仿照教材p.6例2的方法，可以验证：sups?1。infs?07．设a、b皆为非空有界数集，定义数集a?b?{z|z?x?y,x?a,y?b}证明：（1）sup(a?b)?supa?supb；（2）inf(a?b)?infa?infb证明（1）因为a、b皆为非空有界数集，所以supa和supb都存在。?z?a?b，由定义分别存在x?a,y?b，使得z?x?y。由于x?supa，y?supb，故z?x?y?supa?supb，即supa?supb是数集a?b的一个上界。2（要证?不是数集a?b的上界），??p???supa?supb，usb?pusa，由上z0?a?b。因此supa?supb是数集a?b的上确界，即sup(a?b)?supa?supb另证?z?a?b，由定义分别存在x?a,y?b，使得z?x?y。由于x?supa，y?supb，故z?x?y?supa?supb，于是sup(a?b)?supa?supb。①由上确界的定义，???0，?x0?a，使得x0?supa?y0?supb??2，?y0?b，使得?2，从而sup(a?b)?x0?y0?supa?supb??，由教材p.3例2，可得sup(a?b)?supa?supb②由①、②，可得sup(a?b)?supa?supb类似地可证明：inf(a?b)?infa?infbp.15习题?2,?2]的分段线性函数，其图象如图。11．试问y?|x|是初等函数吗？解因为y?|x|?y?|x|是初等函数。3x2，可看成是两个初等函数y?u与u?x的复合，所以212．证明关于函数y??x?的如下不等式：（1）当x?0时，1?x?x（2）当x?0时，1?x?x??1?x??1?x????证明（1）因为?1?1?1??1??1?，所以当x?0时，有x???1?1?x?x，?x???????x???x??x??x??1??1?从而有1?x?x。?x??1??（2）当x?0时，在不等式?1?1?1????1中同时乘以x，可得?x???x???x??1??1??1??1?x???x?1?x??，从而得到所需要的不等式1?x???1?x。?x??x??x?p.20习题1．证明f(x)?xx?12是r上的有界函数。xx?12证明因为对r中的任何实...
