幕级数求和函数方法概括与总结1n常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元 263 年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于 14 世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了 19 世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。一、幂级数的基本概念(一)、幕级数的定义⑴1、设 u(x)(n=1,2,3・・.)是定义在数集 E 上的一个函数列，则称nu(x)+u(x)++u(x)+,x€E12•…n•…为定义在 E 上的函数项级数，简记为 Ku(x)。nn=12、具有下列形式的函数项级数为 a(x—x)n=a+a(x—x)+a(x—x)2HFa(x—x)nH—n001020n02对于幂级数为 aX”，n若前”项和函数列｛s(x)｝有极限,nlims(x)存在，则n=lims(x)n称为在点 x处的幂级数。0特别地，在为 a(x-x)n中，令 x-x二 x，即上述形式化为n00n=0为 axn=a+ax+ax2+...+axn+...n012nn=0称为在 0 点的幂级数。(二)、幂级数的和函数[2]若对幂级数中的每一个 x 都有 a+ax+ax2+ax3+…二 s(x)，则称 s(x)为幂级数的0123和函数。幂级数的部分和记为s(x)二 a+ax+ax2+ax3+...+ax”...
