欧拉函数公式及其证明

欧拉函数 ：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。 完全余数集合：定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。有关性质：对于素数 p ，φ(p) = p -1 。对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。这是因为 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。欧拉定理 ：对于互质的正整数 a 和 n ，有 aφ(n) ≡ 1 mod n 。证明：( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ... , a * xφ(n) mod n} ， 则 Zn = S 。 ① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * xi 与 n 互质，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。 ② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n 互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n) mod n ≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n ≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n) mod n) mod n ≡ x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n 对比等式的左右两端，因为 xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 aφ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。注：消去律：假如 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p a ≡ b mod p ⇒。费马定理 ：若正整数 a 与素数 p 互质，则有 ap - 1 ≡ 1 mod p 。证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。*****************************************************************************补充：欧拉函数公式( 1 ) pk 的欧拉函数对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = pk ，φ(n) = pk - pk -1 证明： 小于 pk 的正整数个数为 pk - 1 个，其中 和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共计 pk - 1 - 1 个 所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。( 2 ) p * q 的欧拉函数假设 p, q 是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。证明： 令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1 根据中国余数定理，有 Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射（我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq b * p + a * q ∈ Zn ⇔。） 所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。 而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有 φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。( 3 ) 任意正整数的欧拉函数任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为： I n = ∏ piki (I 为 n 的素因子的个数) i=1根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为： I I Φ(n) = ∏ piki-1(pi-1) = n∏ (1 - 1 / pi) i=1 i=1对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在 pi -1 是偶数。