基于 LMI 的单级倒立摆的状态反馈 PID 控制摘要 本文以单级倒立摆为讨论对象，通过物理规律得到系统的传递函数和状态方程，并结合状态反馈的概念，将约束条件转化为线性矩阵不等式求解反馈矩阵并得到 PID 控制器，最后进行 MATLAB 仿真得到仿真曲线进行对比分析指出该方法的优缺点。关键字 单级倒立摆 PID MATLAB LMI 状态反馈前言倒立摆系统是一种典型的非线性的，不稳定的复杂系统。是控制理论教学与科研中讨论诸如鲁棒问题、非线性系统的控制等问题的良好实验对象。同时，倒立摆系统作为机器人行走中平衡控制、火箭垂直姿态控制和卫星飞行中姿态控制的最简单模型在航空航天以及军工等领域有着广泛的用处。倒立摆可以根据摆杆数量的不同分为一级、二级和三级等，多级摆杆间采纳自由连接。一级倒立摆的仿真与控制已广泛应用于教学科研，而二级倒立摆也已在大部分实验室中实现，至于三级倒立摆的控制问题则是国际上公认的难题。然而我国学者李洪兴教授在 2024 年实现了国际上首次四级倒立摆实物系统的控制，这是我国学者采纳自己提出的理论完成世界性难题的重大科学成就。本文中以单级倒立摆为讨论对象，根据物理定律进行建模得到数学模型，在此基础上进行 PID 控制，并通过 MATLAB 仿真对比加入 PID 控制器前后的响应曲线进行分析。数学模型的建立直线一级倒立摆是由小车、摆杆等部件构成。现假设有一个一级倒立摆系统，其中摆杆的长度为，，质量为，小车质量为，为作用在小车上的外力，为摆杆与垂直向上方向的夹角，为小车的水平位移。若不考虑小车与导轨，摆杆与小车之间的摩擦并且不计各种空气阻力，则倒立摆系统的受力分析如图 1 所示。Figure 1规定摆杆重心的坐标为，则采纳隔离法，对小车有 (1)其中为摆杆所受沿水平方向的力。对于摆杆，在水平方向上有 (2)在竖直方向上有 (3)其中为摆杆所受沿垂直方向的力。以摆杆质心为旋转中心建立动力学方程有 (4)其中为摆杆绕其质心的转动惯量。此时，发现(2)(3)(4)均为非线性方程，为了简化计算并且便于进行控制器设计，要对上述方程进行近似线性化处理。由于控制目标是使摆杆处于垂直稳定状态，即尽可能的小，甚至接近于，因此可以认为、、、。这里需要注意，因此方程(2)(3)(4)化为 (5) (6) (7)消去中间变量、，由(1)(5)式得到 (8)由(6)(7)式得到 (9)由(8)(9)得到单级倒立摆方程 (10) (11)设小车的质量为，摆长为，摆杆质量为，重力加速度取带入上述方程，可以...
