2025年微积分下册主要知识点

4.1 不定积分*基本积分表*基本积分法：运用基本积分表。4.2 换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法).二、常用凑微分公式 三、第二换元法 ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中具有a) 可令 b) 可令 c) 可令 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换. 四、积分表续4.3 分部积分法分部积分公式： (3.1) (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中 m, n 都是正整数).5.1 定积分的概念5.2 定积分的性质两点补充规定：(a) 当时, (b) 当时, .性质 1 性质 2 (k 为常数).性质 3 .性质 4 性质 5 若在区间上有 则 推论 1 若在区间上 则 推论 2 性质 6 (估值定理)设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值,则性质 7 (定积分中值定理) 假如函数在闭区间上持续,则在上至少存在一种点 , 使 5.3 微积分的基本公式一、引例 二、积分上限的函数及其导数：定理 2 若函数在区间上持续,则函数就是在上的一种原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理 3 若函数是持续函数在区间上的一种原函数,则. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4 定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理 1 设函数在闭区间上持续,函数满足条件：（1） 且；（2）在(或)上具有持续导数,则有. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 不过,在应用定积分的换元公式时应注意如下两点：（1）用把变量 x 换成新变量 t 时, 积分限也要换成对应于新变量 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2） 求出的一种原函数后,不必象计算不定积分那样再把变换成原变量 x 的函数,而只要把新变量 t 的上、下限分别代入然后相减就行了.二、定积分的分部积分法 或 5.5 广义积分一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分5.6 定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个环节把所求的量表达为定积分的形式. 可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量（总量）表达为定积分的措施——微元法，这个措施的重要环节如下： (1) 由分割写出微元 根据详细问题，选用一种积分变量，例如 为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一种区间微元，求出对应于这个区...